1. 從“建?！钡健罢撐摹睘槭裁春媚Ｐ筒坏扔诤贸煽?jī)?cè)跀?shù)學(xué)建模競(jìng)賽圈子里流傳著一句老話“三分建模七分寫作”。這句話聽起來有點(diǎn)夸張但經(jīng)歷過國(guó)賽全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和美賽美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的老手們大多會(huì)深以為然。我見過太多隊(duì)伍模型建得精巧算法用得高級(jí)但最后交上去的論文卻讓人看得一頭霧水或者平平無奇最終成績(jī)遠(yuǎn)低于預(yù)期。反過來也有些隊(duì)伍模型本身可能并不復(fù)雜但論文寫得邏輯清晰、圖文并茂、表達(dá)專業(yè)最終卻能拿到不錯(cuò)的獎(jiǎng)項(xiàng)。這背后的原因很簡(jiǎn)單評(píng)委老師沒有時(shí)間、也不可能去運(yùn)行你的代碼、復(fù)現(xiàn)你的模型。他們?cè)u(píng)判的唯一依據(jù)就是你提交的那份二十來頁的PDF論文。這篇論文是你整個(gè)團(tuán)隊(duì)三天三夜國(guó)賽或四天四夜美賽智力勞動(dòng)的最終結(jié)晶和唯一呈現(xiàn)。它不僅僅是一份“技術(shù)報(bào)告”更是一份需要說服評(píng)委的“產(chǎn)品說明書”和“解決方案推銷書”。因此掌握一套科學(xué)、高效的論文寫作方法其重要性不亞于模型構(gòu)建本身。它決定了你辛苦建立的模型價(jià)值能否被完全、甚至超值地認(rèn)可。本文將拋開空洞的理論結(jié)合我自身多次參賽和指導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)聚焦于國(guó)賽和美賽論文寫作中那些真正關(guān)鍵、可操作的方法與細(xì)節(jié)目標(biāo)是讓你寫出的論文從眾多作品中脫穎而出。2. 論文的骨架頂層設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)規(guī)劃動(dòng)筆之前先搭架子。一篇優(yōu)秀的數(shù)模論文結(jié)構(gòu)必須清晰、符合規(guī)范。國(guó)賽和美賽在結(jié)構(gòu)要求上大同小異但細(xì)節(jié)側(cè)重有所不同。一個(gè)好的結(jié)構(gòu)規(guī)劃能讓寫作過程有條不紊也能讓評(píng)委快速抓住你們工作的脈絡(luò)。2.1 國(guó)賽與美賽的結(jié)構(gòu)共識(shí)與差異無論是國(guó)賽還是美賽一篇完整的論文通常包含以下核心部分摘要、問題重述與分析、模型假設(shè)與符號(hào)說明、模型的建立與求解、模型的分析與檢驗(yàn)、模型的評(píng)價(jià)與推廣、參考文獻(xiàn)、附錄。這是骨架但血肉的填充方式各有講究。對(duì)于國(guó)賽評(píng)審更注重模型的正確性、算法的有效性以及結(jié)果的可靠性。因此在“模型的建立與求解”部分需要非常扎實(shí)推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)邏輯鏈完整。摘要要求高度精煉直擊要害因?yàn)閲?guó)賽評(píng)審工作量極大摘要往往是定檔的第一印象。對(duì)于美賽除了模型本身評(píng)審還非?？粗亍肮适滦浴焙汀皠?chuàng)新性”。你的論文需要像一個(gè)完整的解決方案報(bào)告有清晰的背景引入引言部分可以更生動(dòng)有對(duì)問題深入的洞察問題分析部分可以更展開模型部分要講清楚“為什么選擇這個(gè)模型”而不僅僅是“怎么用這個(gè)模型”。摘要Summary更是重中之重它需要吸引人概括全文亮點(diǎn)甚至可以稍微帶點(diǎn)“推銷”語氣。美賽論文的圖表美觀度、排版專業(yè)度也往往被賦予更高的權(quán)重。2.2 寫作順序的黃金法則倒著寫順著理新手常犯的錯(cuò)誤是按章節(jié)順序從頭寫到尾。這極易導(dǎo)致摘要空洞、重點(diǎn)模糊以及前后內(nèi)容重復(fù)或矛盾。我強(qiáng)烈推薦“倒序?qū)懽鞣ā笔紫韧瓿珊诵哪Ｐ筒糠衷谀Ｐ突窘?、求解出初步結(jié)果后立即著手撰寫“模型的建立與求解”這一核心章節(jié)。這時(shí)思路最清晰細(xì)節(jié)最準(zhǔn)確。把模型原理、推導(dǎo)過程、算法步驟、求解結(jié)果包括核心圖表完整地寫下來。接著撰寫“模型的分析與檢驗(yàn)”和“評(píng)價(jià)推廣”基于已有的結(jié)果進(jìn)行分析、靈敏度檢驗(yàn)、誤差分析等并客觀評(píng)價(jià)模型的優(yōu)缺點(diǎn)思考推廣方向。這部分是對(duì)模型工作的深化。然后回溯撰寫“問題分析”與“模型假設(shè)”此時(shí)你已經(jīng)完全清楚自己用了什么模型、做了哪些簡(jiǎn)化。回過頭來寫“問題分析”時(shí)就可以有針對(duì)性地闡述為何將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為你最終解決的形態(tài)層層遞進(jìn)邏輯自然。寫“模型假設(shè)”時(shí)也能確保每一條假設(shè)都確實(shí)為后續(xù)模型服務(wù)且合理可行。最后精雕細(xì)琢“摘要”和“關(guān)鍵詞”這是全文的最后一步也是最重要的一步。此時(shí)你對(duì)全文的精華了如指掌。摘要需要概括問題、方法、模型、算法、主要結(jié)果和結(jié)論。寫完后務(wù)必反復(fù)修改確保它獨(dú)立成文、沒有廢話、亮點(diǎn)突出。貫穿始終的“參考文獻(xiàn)”和“附錄”參考文獻(xiàn)在引用時(shí)隨時(shí)添加最后統(tǒng)一格式化。附錄用于放置大篇幅的代碼、中間數(shù)據(jù)或冗長(zhǎng)推導(dǎo)在正文中注明“詳見附錄X”即可。這種“倒著寫”的方式能確保你的論文核心堅(jiān)實(shí)并且摘要與正文高度統(tǒng)一避免“摘要承諾了一頭牛正文只見到一只雞”的尷尬。3. 摘要決定生死的五百字摘要是一篇論文的“臉面”。評(píng)委在初步篩選時(shí)可能只花幾分鐘看摘要。摘要的質(zhì)量直接決定了你的論文是被歸入“細(xì)讀”檔還是“普通”檔。3.1 摘要的“五臟六腑”一個(gè)都不能少一篇完整的摘要應(yīng)像一篇高度濃縮的微型論文包含以下要素問題與背景用一兩句話簡(jiǎn)要說明解決了什么問題。建模思路與總體方法面對(duì)這個(gè)問題你們總體的解決路徑是什么例如“本文通過分析……數(shù)據(jù)首先建立了……模型進(jìn)而利用……算法進(jìn)行求解最后針對(duì)……問題進(jìn)行了優(yōu)化?！本唧w模型與算法你們具體建立了什么模型如基于熵權(quán)法的TOPSIS綜合評(píng)價(jià)模型、結(jié)合時(shí)間序列預(yù)測(cè)的元胞自動(dòng)機(jī)模擬模型等。采用了什么算法或工具求解如利用蒙特卡洛方法進(jìn)行模擬、使用LINGO軟件進(jìn)行整數(shù)規(guī)劃求解等。主要結(jié)果與結(jié)論給出最關(guān)鍵、最亮眼的數(shù)值結(jié)果和結(jié)論。結(jié)果要具體最好有數(shù)據(jù)支持。例如“最終得出2030年該地區(qū)碳排放峰值約為XX萬噸并給出了分階段的減排路徑。靈敏度分析表明模型對(duì)參數(shù)α的變化較為穩(wěn)健。”模型優(yōu)點(diǎn)與特色簡(jiǎn)要點(diǎn)明模型的創(chuàng)新點(diǎn)、優(yōu)勢(shì)或特色。例如“本文的創(chuàng)新之處在于將網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的節(jié)點(diǎn)中心性指標(biāo)引入評(píng)價(jià)體系使得結(jié)果更能反映結(jié)構(gòu)性差異?！弊⒁庹胁灰霈F(xiàn)圖表、公式引用如“見圖1”、“由公式(5)可得”也不要寫“我們”這種主觀詞匯直接以“本文”開頭采用客觀陳述語氣。3.2 美賽Summary的額外心機(jī)美賽的Summary可以比國(guó)賽摘要稍長(zhǎng)且更注重“吸引力”。開頭可以稍作鋪墊但依然要迅速切入主題。在陳述結(jié)果時(shí)除了數(shù)據(jù)可以強(qiáng)調(diào)一下結(jié)果的意義或影響。例如不僅說“預(yù)測(cè)人口為X”還可以說“該預(yù)測(cè)為城市基礎(chǔ)設(shè)施規(guī)劃提供了量化依據(jù)”。多用一些強(qiáng)有力的動(dòng)詞如“demonstrate”, “propose”, “reveal”, “outperform”等。一個(gè)實(shí)用的技巧是寫完摘要后讓隊(duì)里一位不太熟悉細(xì)節(jié)的隊(duì)員或同學(xué)閱讀看他能否在短時(shí)間內(nèi)抓住你們工作的核心。如果他讀后不知所云說明摘要需要重寫。4. 模型表述如何把“黑箱子”講明白這是論文的主體也是最體現(xiàn)功力的部分。很多同學(xué)在這里堆砌公式和代碼卻忘了寫作的本質(zhì)是“溝通”。4.1 從問題到模型邏輯鏈必須無縫銜接在“問題分析”或“模型的建立”章節(jié)開頭一定要有一段“引領(lǐng)性”的文字。不要直接甩出公式。應(yīng)該先分析問題的特點(diǎn)、難點(diǎn)然后說明針對(duì)這些特點(diǎn)你們打算采用哪一類方法比如這是一個(gè)典型的優(yōu)化分配問題因此我們考慮建立規(guī)劃模型或者這個(gè)問題涉及多個(gè)因素的相互影響因此我們嘗試用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型來描述。接著解釋為什么在同類模型中選擇了這一個(gè)比如與線性規(guī)劃相比非線性規(guī)劃更能刻畫實(shí)際中的邊際效應(yīng)遞減規(guī)律。這個(gè)過程就像給評(píng)委講故事“我們遇到了這樣一個(gè)麻煩問題→ 這個(gè)麻煩可以這樣理解分析→ 通常有幾種解決思路方法歸類→ 我們權(quán)衡之后決定用這種思路模型選擇理由→ 具體來說我們的模型長(zhǎng)這樣公式呈現(xiàn)”。有了這個(gè)邏輯鏈模型的出現(xiàn)就不再突兀。4.2 公式、圖表與文字的三位一體公式重要公式必須居中、編號(hào)。在公式出現(xiàn)前用文字說明每個(gè)符號(hào)即將代表的含義。公式出現(xiàn)后對(duì)公式的整體含義進(jìn)行解釋說明它如何體現(xiàn)了你們前面的建模思想。避免出現(xiàn)“由以上分析可得公式(1)”這種跳躍。% 示例不要只寫 建立目標(biāo)函數(shù)max Z ∑ c_i x_i。 % 應(yīng)該寫 為了最大化總收益我們以總利潤(rùn)最大化為目標(biāo)建立如下目標(biāo)函數(shù) $$ \max Z \sum_{i1}^{n} c_i x_i \tag{1} $$ 其中$Z$表示總利潤(rùn)$c_i$表示第$i$種產(chǎn)品的單位利潤(rùn)元/件$x_i$表示第$i$種產(chǎn)品的產(chǎn)量件$n$為產(chǎn)品種類總數(shù)。式(1)的含義是求所有產(chǎn)品利潤(rùn)之和的最大值。圖表圖表是論文的顏值擔(dān)當(dāng)也是信息的高效載體。每一個(gè)圖表都必須有編號(hào)和標(biāo)題如“圖12010-2022年全國(guó)碳排放量趨勢(shì)圖”、“表1不同方案的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比”。在正文中必須有對(duì)圖表的引用和描述如“如圖1所示碳排放量在2015年后增速明顯放緩……”“由表1可知方案A在成本指標(biāo)上最優(yōu)而方案B在效率指標(biāo)上領(lǐng)先……”。圖表標(biāo)題應(yīng)具有自明性讓人不看正文也能大致理解圖表內(nèi)容。文字文字是粘合劑負(fù)責(zé)串聯(lián)所有元素。它的作用是解釋、引導(dǎo)和強(qiáng)調(diào)。避免大段冗長(zhǎng)的描述多分段落。技術(shù)性描述力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔。4.3 算法描述偽代碼優(yōu)于純代碼如果你用了某種算法如遺傳算法、模擬退火、迪杰斯特拉算法等不要直接把編程代碼貼進(jìn)正文。應(yīng)該用“偽代碼”或“算法步驟”的形式來描述。說明算法選擇理由為什么用這個(gè)算法它如何適配你的模型給出算法流程圖或步驟列表用清晰的框圖或123…的步驟列出算法的關(guān)鍵流程。這比大段文字更直觀。必要時(shí)附上關(guān)鍵代碼片段如果算法中有自己實(shí)現(xiàn)的精妙部分可以截取關(guān)鍵代碼片段放入正文并加以說明。完整的代碼全部放入附錄。5. 模型檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)讓結(jié)果可信讓工作完整模型求解出結(jié)果論文只完成了一半。如何讓評(píng)委相信你的結(jié)果不是“湊出來”的這就需要模型檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)。5.1 靈敏度分析模型的“壓力測(cè)試”靈敏度分析幾乎是數(shù)模論文的標(biāo)配。它的核心是改變模型中的某個(gè)些參數(shù)或初始條件觀察結(jié)果的變化程度。怎么做通常選擇1-2個(gè)關(guān)鍵或不確定的參數(shù)比如增長(zhǎng)率、權(quán)重系數(shù)、初始值在其合理范圍內(nèi)取一系列值重新運(yùn)行模型觀察目標(biāo)函數(shù)或關(guān)鍵輸出變量的變化。怎么呈現(xiàn)最好用圖表如折線圖參數(shù) vs 結(jié)果或熱力圖多參數(shù)變化。結(jié)論要明確模型對(duì)哪些參數(shù)敏感敏感程度如何這對(duì)實(shí)際應(yīng)用有何啟示例如“模型對(duì)貼現(xiàn)率r高度敏感因此在政策制定中需謹(jǐn)慎確定該值而對(duì)維護(hù)成本系數(shù)c不敏感說明該部分估算的誤差對(duì)最終決策影響較小?！弊⒁忪`敏度分析不是簡(jiǎn)單地改變參數(shù)看結(jié)果變不變而是要分析變化“是否在可接受范圍內(nèi)”以及“變化趨勢(shì)是否符合直覺或理論預(yù)期”。5.2 誤差分析與模型檢驗(yàn)誤差分析如果你的問題有歷史數(shù)據(jù)或部分已知結(jié)果一定要計(jì)算模型的誤差。使用如平均絕對(duì)誤差MAE、均方根誤差RMSE、相對(duì)誤差等指標(biāo)進(jìn)行量化。分析誤差來源是模型假設(shè)過于簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)噪聲還是算法收斂精度問題模型檢驗(yàn)用多種方法交叉驗(yàn)證模型的有效性。交叉驗(yàn)證對(duì)于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型如預(yù)測(cè)、分類將數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練集和測(cè)試集。案例對(duì)比將模型應(yīng)用于一個(gè)已知解的簡(jiǎn)化特例或經(jīng)典案例看結(jié)果是否一致。多模型對(duì)比如果可能用另一種不同的模型或方法對(duì)同一問題求解對(duì)比結(jié)果。如果結(jié)果趨勢(shì)一致則大大增強(qiáng)了結(jié)論的說服力。即使結(jié)果有差異分析差異原因也是論文的亮點(diǎn)。5.3 模型評(píng)價(jià)與推廣畫一個(gè)圓滿的句號(hào)這一部分體現(xiàn)團(tuán)隊(duì)的思考深度。模型評(píng)價(jià)優(yōu)缺點(diǎn)要客觀、全面。優(yōu)點(diǎn)寫2-3條緊扣模型特色如“模型具有清晰的物理意義”、“計(jì)算效率高適合大規(guī)模求解”。缺點(diǎn)寫1-2條要真誠(chéng)且“高級(jí)”避免“時(shí)間倉促、水平有限”這種套話?？梢哉f“模型假設(shè)了XX條件在極端情況下可能不適用”、“模型未考慮XX因素的動(dòng)態(tài)耦合未來可進(jìn)一步深化”。指出缺點(diǎn)同時(shí)暗示了改進(jìn)方向。模型推廣基于你的模型談?wù)勊宰餍薷暮筮€能應(yīng)用于哪些類似場(chǎng)景。這展示了模型的普適性和你們的發(fā)散思維。例如一個(gè)解決校園快遞點(diǎn)布局的模型可以推廣到城市消防站選址、疫苗接種點(diǎn)布局等問題。6. 排版、細(xì)節(jié)與團(tuán)隊(duì)協(xié)作最后的臨門一腳細(xì)節(jié)決定成敗。一篇內(nèi)容再好但排版混亂、錯(cuò)誤百出的論文會(huì)極大降低評(píng)委的好感度。6.1 排版規(guī)范與工具選擇強(qiáng)烈推薦LaTeX對(duì)于數(shù)模論文LaTeX幾乎是專業(yè)和美觀的代義詞。它處理公式、圖表編號(hào)、參考文獻(xiàn)引用極其方便排版風(fēng)格統(tǒng)一、學(xué)術(shù)范兒足。雖然初期有學(xué)習(xí)成本但模板豐富國(guó)賽有官方LaTeX模板美賽有大量?jī)?yōu)秀模板如“謝金星模板”一旦掌握效率遠(yuǎn)超Word。Overleaf在線平臺(tái)更是讓協(xié)作和編譯變得簡(jiǎn)單。如果只能用Word務(wù)必使用樣式功能統(tǒng)一標(biāo)題格式用題注功能管理圖表編號(hào)用交叉引用用公式編輯器。切忌手動(dòng)調(diào)整編號(hào)和格式。通用規(guī)范字體中文常用宋體英文和數(shù)字用Times New Roman。字號(hào)正文小四或五號(hào)標(biāo)題適當(dāng)加大。行距1.25倍或1.5倍便于閱讀。頁邊距不宜過窄顯得擁擠。圖表確保清晰分辨率足夠。圖中線條、標(biāo)記要易于區(qū)分。表格采用三線表為佳。6.2 必須檢查的細(xì)節(jié)清單在提交前團(tuán)隊(duì)?wèi)?yīng)進(jìn)行交叉審讀重點(diǎn)檢查錯(cuò)別字與語法尤其是摘要、標(biāo)題、圖注、表頭。符號(hào)一致性全文同一變量符號(hào)必須一致且在“符號(hào)說明”部分明確定義。圖表引用正文中提到的每一個(gè)“圖X”、“表Y”都必須存在且編號(hào)對(duì)應(yīng)。公式編號(hào)引用公式時(shí)編號(hào)是否正確。參考文獻(xiàn)格式是否統(tǒng)一國(guó)賽推薦GB/T 7714美賽可用APA或MLA正文中的引用標(biāo)記[1]是否與文末列表對(duì)應(yīng)。頁碼與目錄自動(dòng)生成目錄檢查是否正確。文件命名按競(jìng)賽要求命名最終PDF如“題號(hào)_隊(duì)伍編號(hào).pdf”。6.3 團(tuán)隊(duì)協(xié)作寫作者與建模者的默契論文寫作不是一個(gè)人的事。理想的分工是一人主筆負(fù)責(zé)統(tǒng)稿、撰寫摘要、問題分析、模型檢驗(yàn)等文字性強(qiáng)的部分建模和編程的同學(xué)提供核心章節(jié)模型建立、算法描述的初稿和所有圖表、結(jié)果數(shù)據(jù)。主筆同學(xué)需要深刻理解模型不能只是“謄寫員”建模同學(xué)也需要有基本的文字表達(dá)能力能說清楚自己的“孩子”。在最后一天全隊(duì)?wèi)?yīng)一起通讀論文至少兩遍。第一遍關(guān)注技術(shù)內(nèi)容是否準(zhǔn)確、邏輯是否通順。第二遍拋開技術(shù)只從一名陌生評(píng)委的角度看這篇論文是否易讀、流暢、有說服力。往往在這時(shí)還能發(fā)現(xiàn)一些隱藏的邏輯漏洞或表述不清的地方。數(shù)學(xué)建模論文寫作是一門將技術(shù)思維轉(zhuǎn)化為說服藝術(shù)的學(xué)問。它沒有固定不變的模板但有經(jīng)過驗(yàn)證的最佳實(shí)踐。核心永遠(yuǎn)在于以評(píng)委為中心用清晰的結(jié)構(gòu)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?、專業(yè)的表述和用心的細(xì)節(jié)將你們團(tuán)隊(duì)的智慧完整、有力、美觀地呈現(xiàn)出來。掌握了這些方法你就能為你的優(yōu)秀模型配上一篇同樣優(yōu)秀的“說明書”讓它在競(jìng)賽中真正綻放光彩。