Razavi 模集教材的習(xí)題 6.8(a)是不少人在第 6 章頻率響應(yīng)部分遇到的第一道坎。這道題不是單純考記憶而是考你能不能把一個(gè)放大器的傳輸函數(shù)從等效電路里完整推出來(lái)并判斷它的極點(diǎn)和零點(diǎn)。下面我按最常見(jiàn)的共源級(jí)高頻分析版本把推導(dǎo)過(guò)程完整走一遍。如果你手邊教材里的 6.8(a) 電路和我這里不完全一樣也不要緊替換元件后整個(gè)分析流程照樣能用。這種題最大的價(jià)值是幫你建立一套“畫(huà)小信號(hào)模型 - 列節(jié)點(diǎn)方程 - 消元整理 - 檢驗(yàn)極限 - 畫(huà)波特圖”的固定思路。一旦這個(gè)流程跑順后面 6.8(b)、6.9、6.10 都會(huì)輕松很多。1. 拿到 6.8(a) 以后先別急著列方程1.1 先確認(rèn)題目考的是低頻響應(yīng)還是高頻響應(yīng)Razavi 教材第 6 章標(biāo)題叫“頻率響應(yīng)”但里面的習(xí)題并不是都要求你列全頻段的傳輸函數(shù)。有的題考低頻響應(yīng)主要看耦合電容、旁路電容對(duì)增益的影響有的題考高頻響應(yīng)主要看晶體管寄生電容 Cgs、Cgd、Cdb 的作用。6.8(a) 屬于哪一類取決于你手里的具體版本。我遇到的常見(jiàn)情況是它給的是一個(gè)共源放大器輸入源內(nèi)阻 RS輸出端有負(fù)載電容節(jié)點(diǎn)上還有晶體管電容要求推導(dǎo) Vout/Vin并畫(huà)出波特圖。這就是典型的高頻響應(yīng)題目。判斷方法很簡(jiǎn)單看題圖里把哪些電容看作大電容、哪些電容看作小電容。如果耦合電容和旁路電容畫(huà)得很大通常低頻時(shí)視為短路重點(diǎn)分析寄生電容如果題目只畫(huà)了 Cgs、Cgd、CL 這類小電容說(shuō)明直接進(jìn)入高頻分析。1.2 判斷電路拓?fù)鋵儆谀囊活惖?6 章的例題和習(xí)題里拓?fù)洳煌夂豕苍醇?jí)、共柵級(jí)、源跟隨器、級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。6.8(a) 如果只有一個(gè)晶體管通常就是共源級(jí)。共源級(jí)的特征是輸入加在柵極輸出取自漏極源極交流接地。如果源極串了一個(gè)電阻 R_S? 不注意這里輸入源內(nèi)阻 RS 和源極電阻是兩回事。Razavi 題目里信號(hào)源一般不是理想電壓源會(huì)帶一個(gè)源內(nèi)阻 RS這個(gè)電阻對(duì)輸入極點(diǎn)影響很大必須保留。如果源極還有電阻那屬于源極負(fù)反饋推導(dǎo)會(huì)更復(fù)雜但分析方法一樣。先判斷拓?fù)湓佼?huà)等效電路否則很容易把節(jié)點(diǎn)方程寫(xiě)錯(cuò)。我見(jiàn)過(guò)不少人拿到題就開(kāi)始套“密勒定理”結(jié)果題目要求精確傳輸函數(shù)密勒近似反而導(dǎo)致極點(diǎn)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)都對(duì)不上。1.3 建立推導(dǎo)步驟清單做這類題我一般會(huì)按五步走畫(huà)出高頻小信號(hào)等效電路。在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)寫(xiě) KCL 方程。消去中間變量得到 Vout/Vin 的表達(dá)式。整理成標(biāo)準(zhǔn)形式提取直流增益、零點(diǎn)、極點(diǎn)。用低頻極限和高頻極限驗(yàn)證結(jié)果再畫(huà)波特圖。不要跳過(guò)第一步直接寫(xiě)公式。即使你記得共源級(jí)傳輸函數(shù)的最終形式也要學(xué)會(huì)自己推一遍因?yàn)?6.8(a) 后面的小問(wèn)很可能讓你改條件。2. 小信號(hào)等效電路和三件最容易漏掉的事2.1 輸入源內(nèi)阻 RS 必須畫(huà)進(jìn)去否則輸入極點(diǎn)會(huì)丟很多同學(xué)畫(huà)等效電路時(shí)喜歡把輸入信號(hào)直接接到柵極認(rèn)為 Vin 就等于 Vg。這在低頻題里問(wèn)題不大但在頻率響應(yīng)題里是錯(cuò)誤的。信號(hào)源 Vin 通過(guò)源內(nèi)阻 RS 接到柵極柵極節(jié)點(diǎn)對(duì)地還有 Cgs 和 Cgd 的等效電容。高頻時(shí)電容阻抗變小RS 和電容構(gòu)成一個(gè) RC 網(wǎng)絡(luò)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)輸入極點(diǎn)。如果漏掉 RS這個(gè)極點(diǎn)就消失傳輸函數(shù)少一階答案自然不對(duì)。所以拿到 6.8(a)第一件事就是在輸入端把 RS 畫(huà)出來(lái)。即使題目里沒(méi)給 RS也通常會(huì)在圖里標(biāo)一個(gè)要仔細(xì)看。2.2 Cgd 的處理方式直接決定零點(diǎn)是否存在在共源級(jí)中Cgd 跨接在柵極和漏極之間。它不僅是輸入電容的一部分還提供了一條從輸入到輸出的前饋通路。在高頻處Cgd 可以把信號(hào)直接從柵極耦合到漏極。這個(gè)耦合信號(hào)與晶體管 gm 產(chǎn)生的放大信號(hào)方向相反所以會(huì)在傳輸函數(shù)中產(chǎn)生一個(gè)右半平面零點(diǎn)。這個(gè)零點(diǎn)頻率大約是 gm / Cgd但更要緊的是它的相位貢獻(xiàn)是滯后的畫(huà)波特圖時(shí)不能當(dāng)成普通零點(diǎn)處理。如果你用密勒定理把 Cgd 拆成輸入側(cè)和輸出側(cè)兩個(gè)電容那是近似做法。它會(huì)丟掉這個(gè)右半平面零點(diǎn)因?yàn)槊芾盏刃е槐Ａ袅舜笮〔槐Ａ舴较?。?6.8(a) 這種要求完整傳輸函數(shù)的題里除非題目明確說(shuō)“用密勒近似”否則建議保留 Cgd 的跨接關(guān)系直接列節(jié)點(diǎn)方程。2.3 r_o 和體效應(yīng)什么時(shí)候保留什么時(shí)候先去掉Razavi 教材里的小信號(hào)模型有多個(gè)版本只含 gm 的理想電流源、帶 r_o 的非理想電流源、考慮體效應(yīng) gmb 的完整模型。6.8(a) 到底用哪個(gè)模型要回看題目條件。如果題目沒(méi)有特別提到溝道長(zhǎng)度調(diào)制或 lambda通?？梢韵群雎?r_o這樣推導(dǎo)簡(jiǎn)單很多。如果題目明確要求考慮 r_o那輸出節(jié)點(diǎn)就要并一個(gè) r_o公式會(huì)變長(zhǎng)但流程不變。我的建議是第一遍推導(dǎo)先忽略 r_o 和 gmb把主體結(jié)果推出來(lái)。等主體公式?jīng)]問(wèn)題再回頭加 r_o 作修正。否則一上來(lái)就滿屏符號(hào)很容易在代數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)出錯(cuò)。3. 以最常見(jiàn)的共源級(jí) 6.8(a) 為例完整推導(dǎo)傳輸函數(shù)下面以這個(gè)典型電路為例輸入信號(hào)源 Vin源內(nèi)阻 RSNMOS 共源級(jí)柵極有 Cgs柵漏之間有 Cgd漏極接電阻 RD 到電源輸出節(jié)點(diǎn)還有負(fù)載電容 CL源極交流接地暫時(shí)忽略 r_o 和體效應(yīng)。這個(gè)結(jié)構(gòu)在 Razavi 教材第 6 章里非常常見(jiàn)。如果 6.8(a) 的電路不是它你也可以照同樣的方法重推。3.1 先畫(huà)小信號(hào)等效電路再寫(xiě)節(jié)點(diǎn)方程高頻等效電路里所有直流電源都置為交流地VDD 視為地。晶體管用壓控電流源 gm*Vgs 表示Vgs 就是柵極到源極的電壓在源極接地時(shí)Vgs Vg。這時(shí)有兩個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)柵極節(jié)點(diǎn) G 和漏極節(jié)點(diǎn) D。源極是地。在節(jié)點(diǎn) G流入節(jié)點(diǎn)的電流來(lái)自 RS 左側(cè)的 Vin流出節(jié)點(diǎn)的電流有兩條一條通過(guò) Cgs 到地一條通過(guò) Cgd 到漏極。寫(xiě) KCL(Vin - Vg) / RS s*Cgs*Vg s*Cgd*(Vg - Vout)注意Cgd 兩端的電壓是 Vg - Vout所以電流是 s*Cgd*(Vg - Vout)。方向是從柵極流向漏極。在節(jié)點(diǎn) D流出節(jié)點(diǎn)的電流包括壓控電流源 gm*Vg電阻 RD 上的電流 Vout/RD電容 CL 上的電流 s*CL*Vout以及 Cgd 上的電流 s*Cgd*(Vout - Vg)。注意 Cgd 在漏極這一端看到的電壓是 Vout - Vg所以電流方向和柵極那端相反。寫(xiě) KCLgm*Vg Vout/RD s*CL*Vout s*Cgd*(Vout - Vg) 0這里把壓控電流源畫(huà)成了從漏極流出到源極所以 KCL 寫(xiě)成流出電流代數(shù)和為零。如果你習(xí)慣用流入電流符號(hào)會(huì)全部反過(guò)來(lái)最終結(jié)果是一樣的但中間步驟更容易錯(cuò)。3.2 消去 Vg得到 Vout/Vin從柵極節(jié)點(diǎn)方程可以解出 Vg(Vin - Vg) / RS s*(Cgs Cgd)*Vg - s*Cgd*Vout移項(xiàng)Vin / RS Vg / RS s*(Cgs Cgd)*Vg - s*Cgd*Vout所以Vg (Vin s*RS*Cgd*Vout) / (1 s*RS*(Cgs Cgd))從漏極節(jié)點(diǎn)方程解出 Vg 和 Vout 的關(guān)系gmb? 不用管gm*Vg Vout/RD s*CL*Vout s*Cgd*(Vout - Vg) 0整理(gm - s*Cgd)*Vg Vout*(1/RD s*CL s*Cgd) 0因此Vg - Vout * (1/RD s*(CL Cgd)) / (gm - s*Cgd)聯(lián)立兩個(gè) Vg 表達(dá)式去掉 Vg得到(Vin s*RS*Cgd*Vout) / (1 s*RS*(Cgs Cgd)) - Vout * (1/RD s*(CL Cgd)) / (gm - s*Cgd)然后交叉相乘整理出Vout/Vin - gm*RD * (1 - s*Cgd/gm) / [ 1 s*A s^2*B ]其中A RS*(Cgs Cgd) RD*(CL Cgd) gm*RD*RS*Cgd B RS*RD*(Cgs*CL Cgs*Cgd Cgd*CL)這個(gè)結(jié)果就是典型共源級(jí)的高頻傳輸函數(shù)。3.3 檢查量綱和極限行為推導(dǎo)完成后先別急著畫(huà)波特圖做兩個(gè)快速檢查。第一個(gè)檢查是零頻極限。令 s 0分子變成 -gm*RD分母是 1所以 H(0) -gm*RD。這正好是共源級(jí)的中頻電壓增益符號(hào)為負(fù)說(shuō)明輸入輸出反相。如果這里算出正號(hào)肯定是前面某個(gè)電流方向?qū)戝e(cuò)了。第二個(gè)檢查是高頻極限。令 s → ∞分子趨于 -gm*RD*(-s*Cgd/gm) RD*Cgd*s分母趨于 s^2*B所以 H(s) 趨于 RD*Cgd / (s*B)即隨頻率升高而下降最終趨于 0。這與實(shí)際電路在高頻時(shí)增益下降的直覺(jué)一致。還有一個(gè)檢查如果 Cgd 0分子變成 -gm*RD零點(diǎn)消失分母里 A RS*Cgs RD*CLB RS*RD*Cgs*CL。這說(shuō)明電路退化成兩個(gè)獨(dú)立的一階 RC 環(huán)節(jié)分別是輸入節(jié)點(diǎn) RS 與 Cgs、輸出節(jié)點(diǎn) RD 與 CL。這個(gè)退化結(jié)果也符合物理預(yù)期。3.4 極點(diǎn)和零點(diǎn)的物理意義從傳輸函數(shù)可以看出分子有一個(gè)零點(diǎn)z1 gm / Cgd它位于 s 平面的右半平面所以叫右半平面零點(diǎn)。它來(lái)自 Cgd 的前饋通路頻率越高Cgd 阻抗越低信號(hào)越容易直接耦合到輸出抵消部分放大信號(hào)。分母是一個(gè)二階多項(xiàng)式所以有兩個(gè)極點(diǎn)。在大多數(shù)實(shí)際設(shè)計(jì)里兩個(gè)極點(diǎn)分離得比較遠(yuǎn)可以近似求出主極點(diǎn)和次極點(diǎn)。主極點(diǎn)大約在p1 ≈ - 1 / [ RS*(Cgs Cgd) RD*(CL Cgd) gm*RD*RS*Cgd ]這個(gè)表達(dá)式里的每一項(xiàng)都有物理含義RS*(Cgs Cgd) 是輸入節(jié)點(diǎn)對(duì)地電容與源內(nèi)阻形成的時(shí)間常數(shù)RD*(CL Cgd) 是輸出節(jié)點(diǎn)對(duì)地電容與漏極電阻形成的時(shí)間常數(shù)gm*RD*RS*Cgd 是密勒效應(yīng)引起的等效輸入阻抗折算到輸入端后的附加時(shí)間常數(shù)也是三項(xiàng)里最容易忘記的。如果兩個(gè)極點(diǎn)不分離那就用二次方程直接求極點(diǎn)不要強(qiáng)行用主極點(diǎn)近似。Razavi 的習(xí)題里有時(shí)會(huì)特意讓兩個(gè)極點(diǎn)接近考查你能否正確處理二階系統(tǒng)。4. 驗(yàn)證答案的三個(gè)實(shí)用技巧4.1 用低頻極限驗(yàn)證直流增益前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)s 0 時(shí) H(0) 必須等于 -gm*RD。這是所有共源級(jí)推導(dǎo)必須滿足的基本條件。有的題目里 RD 不是純電阻可能是電阻并聯(lián)電容或者負(fù)載是電流鏡輸出阻抗也不同。但不管怎么變s0 時(shí)所有電容都開(kāi)路電路退化成直流等效電路增益就由 gm 和漏極總阻抗決定。如果推導(dǎo)結(jié)果在零頻時(shí)不等于直流增益說(shuō)明你在整理過(guò)程中丟項(xiàng)或符號(hào)寫(xiě)錯(cuò)。這個(gè)時(shí)候不要繼續(xù)往下畫(huà)波特圖回到節(jié)點(diǎn)方程重新檢查。4.2 用高頻極限檢查階數(shù)傳輸函數(shù)分子分母的階數(shù)之差決定了高頻衰減斜率。對(duì)于共源級(jí)分母是二階分子是一階所以高頻時(shí)增益按 -20dB/dec 衰減。如果推導(dǎo)出來(lái)的分母只有一階說(shuō)明你漏掉了一個(gè)極點(diǎn)。常見(jiàn)原因是把 Cgd 直接當(dāng)作密勒電容拆掉丟失了它在輸出節(jié)點(diǎn)上的貢獻(xiàn)。如果分子階數(shù)不對(duì)可能是 Cgd 前饋方向沒(méi)處理好。另一個(gè)技巧是把 Cgd0 代入看結(jié)果是否是兩個(gè)獨(dú)立的一階 RC 的乘積。如果是說(shuō)明主體結(jié)構(gòu)沒(méi)問(wèn)題。4.3 與密勒近似的結(jié)果對(duì)比Razavi 在正文里經(jīng)常用密勒近似分析共源級(jí)的高頻響應(yīng)但習(xí)題里往往要求精確結(jié)果。你可以用兩種方法各自算一遍然后對(duì)比差別。密勒近似的做法是把 Cgd 等效為柵極到地的電容 Cgd*(1 gm*RD)同時(shí)忽略輸出端引入的 Cgd 影響。這樣會(huì)得到一個(gè)沒(méi)有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)輸入極點(diǎn)頻率偏低而且完全看不到右半平面零點(diǎn)。精確結(jié)果與近似結(jié)果的差異在哪里精確結(jié)果有一個(gè)右半平面零點(diǎn)密勒近似沒(méi)有。精確結(jié)果的輸入極點(diǎn)時(shí)間常數(shù)里包含 gm*RD*RS*Cgd與密勒等效類似但精確結(jié)果的第二個(gè)極點(diǎn)也包含 Cgd 的影響。當(dāng) gm*RD 很大時(shí)密勒近似的主極點(diǎn)很接近精確結(jié)果但零點(diǎn)對(duì)相位的影響在高頻段不可忽視。如果題目要求畫(huà)波特圖一定要用精確結(jié)果標(biāo)注零點(diǎn)否則相位曲線會(huì)差 45 度以上。5. 6.8(a) 解答中常見(jiàn)的錯(cuò)誤和排查順序5.1 Cgd 電流方向?qū)懛磳?dǎo)致零點(diǎn)符號(hào)錯(cuò)誤這是最高頻的錯(cuò)誤。Cgd 跨接在柵極和漏極之間柵極一側(cè)的電流表達(dá)式是 s*Cgd*(Vg - Vout)漏極一側(cè)是 s*Cgd*(Vout - Vg)。兩個(gè)方向正好相反很多人在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)分別寫(xiě)方程時(shí)不自覺(jué)寫(xiě)成同一個(gè)方向?qū)е伦罱K分子的零點(diǎn)跑到左半平面。檢查方法很簡(jiǎn)單零點(diǎn)的表達(dá)式如果變成 -gm/Cgd或者符號(hào)不對(duì)就回頭看看 Cgd 電流方向。你可以用電流從高電位流向低電位這個(gè)物理直覺(jué)來(lái)判斷當(dāng) Vg 上升時(shí)Vout 因?yàn)槭欠聪喾糯笃鞫陆邓?Cgd 兩端電壓差增大電流方向應(yīng)該從柵極流向漏極還是反向想清楚這個(gè)符號(hào)就不容易錯(cuò)。5.2 漏掉 RS 或 RD導(dǎo)致極點(diǎn)缺失輸入源內(nèi)阻 RS 如果被忽略輸入極點(diǎn)就消失漏極負(fù)載電阻 RD 如果被忽略輸出極點(diǎn)也消失。這兩種情況都會(huì)讓分母階數(shù)下降。如果題目里信號(hào)源標(biāo)注為理想的也就是沒(méi)有 RS那輸入極點(diǎn)可能確實(shí)沒(méi)有但絕大多數(shù)高頻響應(yīng)題一定有 RS否則輸入節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)電容沒(méi)有電阻無(wú)法形成有限極點(diǎn)。5.3 整理多項(xiàng)式時(shí)丟失 s^2 項(xiàng)在聯(lián)立兩個(gè)節(jié)點(diǎn)方程后需要做一次交叉相乘和展開(kāi)。這個(gè)過(guò)程很容易丟項(xiàng)尤其是 s^2 項(xiàng)。因?yàn)?s^2 項(xiàng)前面會(huì)有多個(gè)乘積比如 Cgs*CL、Cgs*Cgd、Cgd*CL少任何一個(gè)都不對(duì)。我常用的整理方法是先把兩個(gè) Vg 表達(dá)式寫(xiě)清楚再代入消元最后用“系數(shù)對(duì)比法”檢查。比如我們得到的分母二階項(xiàng)系數(shù)B RS*RD*(Cgs*CL Cgs*Cgd Cgd*CL)如果你展開(kāi)后少了中間交叉項(xiàng)說(shuō)明在 (CgsCgd)(CLCgd) 的展開(kāi)中漏了 Cgs*Cgd 或 Cgd*CL。檢查時(shí)可以用一個(gè)簡(jiǎn)單辦法令 Cgs CL 1nFCgd 0.5nF代入公式看數(shù)值是否符合展開(kāi)結(jié)果。數(shù)值驗(yàn)算比符號(hào)驗(yàn)算更直觀。5.4 畫(huà)波特圖時(shí)右半平面零點(diǎn)處理錯(cuò)誤普通的左半平面零點(diǎn)會(huì)引起增益上升相位超前右半平面零點(diǎn)同樣會(huì)讓增益上升但相位是滯后。很多人在畫(huà) 6.8(a) 的波特圖時(shí)把零點(diǎn)當(dāng)成左半平面的來(lái)畫(huà)結(jié)果相位曲線完全錯(cuò)掉。正確畫(huà)法是在零點(diǎn)頻率 fz gm / (2π*Cgd) 處幅頻曲線斜率增加 20dB/dec但相頻曲線繼續(xù)下降 45 度在十倍頻程后下降接近 90 度。也就是說(shuō)這個(gè)零點(diǎn)不會(huì)像普通零點(diǎn)那樣把相位往回升而是讓相位更負(fù)。如果零點(diǎn)頻率遠(yuǎn)高于第二個(gè)極點(diǎn)那波特圖上的零點(diǎn)可能出現(xiàn)在第二個(gè)極點(diǎn)之后最終斜率是 -20dB/dec但因?yàn)榱泓c(diǎn)的作用在零點(diǎn)到第二個(gè)極點(diǎn)之間的區(qū)間斜率可能被拉平。畫(huà)圖前要把 fz、p1、p2 的相對(duì)大小先估算出來(lái)再?zèng)Q定轉(zhuǎn)折點(diǎn)的先后順序。5.5 如果推不出結(jié)果回到原始電路重新畫(huà)模型有些同學(xué)在推導(dǎo)中途卡住會(huì)選擇硬湊公式這不可取。我踩過(guò)幾次坑以后發(fā)現(xiàn)90% 的推導(dǎo)問(wèn)題都出在等效電路本身畫(huà)錯(cuò)了而不是代數(shù)運(yùn)算能力不夠。這時(shí)候建議做一次“歸零檢查”把所以電容全部替換成開(kāi)路看直流等效電路是否正確把 Cgd 設(shè)為 0看看是否退化成兩個(gè)獨(dú)立極點(diǎn)把輸出端短接到地看看前饋零點(diǎn)是否還存在。做完這三步基本能定位是模型問(wèn)題、方程問(wèn)題還是整理問(wèn)題。最后說(shuō)一點(diǎn)Razavi 教材的習(xí)題 6.8(a) 只是頻率響應(yīng)章節(jié)的起點(diǎn)。它真正的意義不是讓你背下那個(gè)傳輸函數(shù)而是讓你熟練掌握“列節(jié)點(diǎn)方程 - 消元 - 整理 - 檢驗(yàn)”這套流程。在這個(gè)流程里最值得花時(shí)間的不是最終公式而是每一步的物理判斷Cgd 為什么會(huì)產(chǎn)生右半平面零點(diǎn)RS 為什么會(huì)影響輸入極點(diǎn)輸出電容為什么直接決定第二個(gè)極點(diǎn)位置把這些想清楚后面再做源跟隨器、共柵級(jí)、Cascode 的習(xí)題會(huì)發(fā)現(xiàn)只是換了一個(gè)拓?fù)浞治龇椒ㄍ耆恢?。如果你手里?6.8(a) 電路和上面這個(gè)共源級(jí)不一樣建議不要急著找現(xiàn)成答案先按這套流程自己推一遍。推完以后再對(duì)比 Razavi 書(shū)上的參考解答你會(huì)比直接看答案收獲大得多。