1. 從一個(gè)不收斂的級(jí)數(shù)說(shuō)起解析延拓到底在干什么先看一個(gè)簡(jiǎn)單到不像話的冪級(jí)數(shù)[ f(z)1zz^2z^3\cdotsz^n\cdots ]只要稍微學(xué)過(guò)復(fù)變函數(shù)就會(huì)立刻算出收斂半徑是 1。也就是說(shuō)當(dāng) (|z|1) 時(shí)這個(gè)級(jí)數(shù)老老實(shí)實(shí)收斂到了 (|z|1) 邊界就開始不老實(shí)超過(guò)邊界直接發(fā)散。很多教材在講“4.1 解析延拓”之前都會(huì)先拿這個(gè)例子開刀。我第一次看到這個(gè)操作的時(shí)候整個(gè)人是愣住的——你憑什么把一個(gè)在單位圓盤外根本不收斂的級(jí)數(shù)繼續(xù)往遠(yuǎn)處“編”出值來(lái)這是不是數(shù)學(xué)家在自說(shuō)自話答案是還真不是。解析延拓不靠猜、不靠拍腦袋它靠的是“局部信息決定全局”這條鐵律。這篇文章就是想把這件事徹底講透。我會(huì)從一個(gè)幾何級(jí)數(shù)出發(fā)把延拓的動(dòng)機(jī)講清楚再解釋背后的唯一性定理、實(shí)操時(shí)怎么一步步做鏈條式展開最后用對(duì)數(shù)函數(shù)、Gamma 函數(shù)、Zeta 函數(shù)三個(gè)經(jīng)典案例收尾順帶把最容易踩的坑都列出來(lái)。如果你是剛學(xué)復(fù)變函數(shù)的學(xué)生或者工作中經(jīng)常和積分、級(jí)數(shù)、特殊函數(shù)打交道的工程師這段內(nèi)容值得靜下心讀一遍。核心問(wèn)題放在最前面冪級(jí)數(shù)只是一個(gè)函數(shù)的“局部身份證”而解析延拓要做的是憑這張身份證把這個(gè)人找出來(lái)。1.1 收斂圓盤擋住的只是級(jí)數(shù)不是函數(shù)本身很多人會(huì)產(chǎn)生一種根深蒂固的誤解級(jí)數(shù)在哪兒收斂函數(shù)就在哪兒定義。這種想法不能算錯(cuò)但它把“函數(shù)”和“函數(shù)的某一種表達(dá)形式”混淆了。舉個(gè)例子上面那個(gè)幾何級(jí)數(shù)如果你只知道它本身它的收斂域確實(shí)只有單位圓盤。但學(xué)過(guò)等比數(shù)列求和就知道當(dāng) (|z|1) 時(shí)這個(gè)級(jí)數(shù)的和是 (1/(1-z))。而 (1/(1-z)) 這個(gè)表達(dá)式明明在 (z1) 以外的所有復(fù)數(shù)點(diǎn)上都有定義。兩個(gè)對(duì)象在單位圓盤內(nèi)完全相等憑什么出了圓盤(1/(1-z)) 能算級(jí)數(shù)卻不能算更準(zhǔn)確地說(shuō)級(jí)數(shù)在圓盤外確實(shí)發(fā)散所以不能繼續(xù)用“求和”的方式算但級(jí)數(shù)想表達(dá)的那個(gè)“函數(shù)”未必不能延伸過(guò)去。(1/(1-z)1zz^2\cdots) 這個(gè)等式只在圓盤內(nèi)成立可函數(shù)本身被這個(gè)等式唯一決定了而它其實(shí)活得好好的幾乎遍布整個(gè)復(fù)平面。這時(shí)候你可能會(huì)說(shuō)“不對(duì)啊如果我不知道 (1/(1-z)) 這個(gè)閉式只知道級(jí)數(shù)豈不是一點(diǎn)辦法都沒有”問(wèn)得好。這正是解析延拓真正的技術(shù)難點(diǎn)我們往往沒有一個(gè)已知的閉式可以套只能在局部一點(diǎn)點(diǎn)往外拱。下一節(jié)就來(lái)看這個(gè)“拱”的動(dòng)作到底怎么做。1.2 在圓盤內(nèi)部換個(gè)圓心重新展開一個(gè)小技巧就能越界假設(shè)我們手里只有級(jí)數(shù) (f(z)1zz^2\cdots)不知道閉式。怎么把函數(shù)定義到 (|z|1) 的區(qū)域去思路是在目前已知的收斂圓盤內(nèi)找一個(gè)新圓心 (a)把函數(shù)在 (a) 附近重新做泰勒展開。只要新圓盤和舊圓盤有重疊新舊兩個(gè)級(jí)數(shù)在重疊區(qū)域就必須表示同一個(gè)函數(shù)而新的收斂圓盤完全有可能比舊圓盤更大或者更準(zhǔn)確地說(shuō)覆蓋到原先收斂范圍之外的區(qū)域。拿 (a-\frac12) 來(lái)算一遍。因?yàn)?(f(z)1/(1-z))所以函數(shù)在 (za) 處的泰勒展開為[ f(z)\sum_{k0}^{\infty}\frac{1}{(1-a)^{k1}}(z-a)^k ]代 (a-\frac12)得到[ f(z)\sum_{k0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{k1}\left(z\frac12\right)^k ]這個(gè)新級(jí)數(shù)的收斂半徑是多少看系數(shù)就夠公比是 (\frac23(z\frac12))所以收斂條件是[ \left|\frac23\left(z\frac12\right)\right|1 \Rightarrow |z\frac12|\frac32 ]也就是說(shuō)新級(jí)數(shù)在以 (-\frac12) 為圓心、半徑 (1.5) 的圓盤內(nèi)收斂。原來(lái)的圓盤是 (|z|1)圓心在原點(diǎn)新的圓盤圓心向左挪到了 (-0.5)半徑變成了 (1.5)。這兩個(gè)圓盤有大量重疊而新圓盤的左半邊已經(jīng)明顯伸出了舊圓盤的范圍。比如 (z-1.2)它到原點(diǎn)的距離是 (1.2)原先的級(jí)數(shù)在這里根本不收斂但它到新圓心 (-0.5) 的距離只有 (0.7)新級(jí)數(shù)可以毫無(wú)壓力地取值。就這樣原本“過(guò)不去”的區(qū)域換了個(gè)圓心就過(guò)去了。如果重復(fù)這個(gè)過(guò)程在新的圓盤里再找一個(gè)點(diǎn)作圓心再展開一次就能一步步延伸到更遠(yuǎn)的地方。理論上只要繞開奇點(diǎn) (z1)最終可以到達(dá)復(fù)平面上任意一個(gè)角落。這就是解析延拓最樸素、最原始的形態(tài)一串互相重疊的圓盤像鏈條一樣把函數(shù)的定義域越撐越大。1.3 走出局部視野后你會(huì)看到一個(gè)被“隱藏”的全局函數(shù)從上面的操作可以看出解析延拓的本質(zhì)是“用局部表示去逼近全局存在”。我們一開始只知道函數(shù)在一個(gè)小圓盤內(nèi)長(zhǎng)什么樣但這個(gè)小圓盤內(nèi)的信息并沒有想象中那么“小”它像一塊拼圖碎片邊緣的花紋已經(jīng)暗示了整幅圖的走向。這一點(diǎn)在幾何級(jí)數(shù)例子里看得特別清楚。通過(guò)換圓心展開我們最終會(huì)意識(shí)到原來(lái)的函數(shù)就是 (1/(1-z)) 在單位圓盤內(nèi)的表示奇點(diǎn)只有一個(gè)就是 (z1)。所以這個(gè)級(jí)數(shù)能延拓到 (z1) 以外的所有地方這不是巧合。但這里有一個(gè)非常關(guān)鍵的哲學(xué)問(wèn)題憑什么從一個(gè)局部發(fā)源最后只能得到一個(gè)唯一的全局函數(shù)如果我選擇另外一條路徑、換另外一個(gè)圓心展開會(huì)不會(huì)得到不同的結(jié)果如果會(huì)那延拓不就亂套了嗎如果你也想到了這一步說(shuō)明你已經(jīng)摸到了解析延拓最核心的門檻。下一節(jié)就來(lái)聊這個(gè)唯一性問(wèn)題的答案。2. 解析延拓憑什么唯一先搞懂全純函數(shù)的“剛性”要回答延拓為什么唯一不能停留在“因?yàn)榻滩倪@么說(shuō)”得先理解復(fù)變函數(shù)里一個(gè)經(jīng)常被忽略的性格特點(diǎn)全純函數(shù)非?！皠傂浴薄Ｋ^剛性就是局部的微小信息一旦確定整個(gè)函數(shù)的行為就被鎖死了。2.1 復(fù)可導(dǎo)比實(shí)可導(dǎo)苛刻太多于是局部信息成了“緊箍咒”回憶一下定義一個(gè)函數(shù) (f) 在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)指的是復(fù)極限[ \lim_{h\to 0}\frac{f(zh)-f(z)}{h} ]存在。這里的 (h) 是復(fù)數(shù)它可以從四面八方逼近 0。跟實(shí)分析里導(dǎo)數(shù)只需要左右兩個(gè)方向逼近不同復(fù)導(dǎo)數(shù)要求函數(shù)在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)都滿足同樣的線性逼近關(guān)系。這個(gè)條件極其苛刻苛刻到只要函數(shù)在一個(gè)開集內(nèi)可導(dǎo)一次它就自動(dòng)無(wú)窮次可導(dǎo)并且在每一點(diǎn)都能展開成收斂的冪級(jí)數(shù)。擁有這種性質(zhì)的函數(shù)叫作全純函數(shù)。全純函數(shù)內(nèi)部藏著一套極強(qiáng)的約束任意兩個(gè)全純函數(shù)如果它們?cè)谝粋€(gè)含有聚點(diǎn)的小集合上取值相同那么它們?cè)谡麄€(gè)連通區(qū)域內(nèi)都完全相同。這個(gè)結(jié)論通常被叫做解析延拓的唯一性定理它是整個(gè)理論的基石。對(duì)比一下實(shí)數(shù)域的情況你就能感受到差別。在實(shí)軸上你可以構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮次可導(dǎo)、在某個(gè)點(diǎn)附近卻是一個(gè)“平臺(tái)”導(dǎo)數(shù)全部為 0的光滑函數(shù)。比如[ g(x)\begin{cases} e^{-1/x^2}, x0\ 0, x\le 0 \end{cases} ]這個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)附近異常平滑所有階導(dǎo)數(shù)都等于 0。如果只看原點(diǎn)右側(cè)的一小段你幾乎無(wú)法判斷它左邊是 0 還是別的樣子。但復(fù)變函數(shù)世界里沒有這種靈活性。函數(shù)之間只要有一小段重疊就會(huì)像兩塊燒紅的金屬焊在一起再也分不開。唯一性定理最直接的應(yīng)用就是解釋“為什么不同路徑延拓的結(jié)果不會(huì)沖突”。假設(shè)從同一個(gè)初始圓盤出發(fā)沿著兩條路徑分別延拓到同一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)最終得到兩個(gè)不同的值。如果這兩條路徑圍成的區(qū)域整體包含在一個(gè)單連通區(qū)域內(nèi)且中間沒有奇點(diǎn)阻斷那么你可以把兩條路徑得到的兩個(gè)函數(shù)拿來(lái)對(duì)比它們?cè)谄瘘c(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)完全重合唯一性定理強(qiáng)迫它們?cè)谥丿B區(qū)域內(nèi)也必須一樣于是兩個(gè)值只能相等。這就是“局部決定全局”在技術(shù)層面的具體體現(xiàn)。2.2 收斂半徑不是一堵實(shí)心的墻奇點(diǎn)才是真正的障礙很多讀者會(huì)有一個(gè)疑問(wèn)既然冪級(jí)數(shù)換一個(gè)圓心就能擴(kuò)大定義域那收斂半徑還有什么意義為什么第一次不直接在更遠(yuǎn)的地方展開答案是你沒有辦法在“函數(shù)還沒有定義的地方”展開。展開新的冪級(jí)數(shù)時(shí)新圓心必須選在已知收斂域內(nèi)部否則連函數(shù)值都不知道求導(dǎo)和求和都無(wú)從談起。所以收斂半徑事實(shí)上規(guī)定了“當(dāng)前這張身份證”能管多遠(yuǎn)。但收斂半徑本身并不是函數(shù)的邊界。一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑等于從圓心出發(fā)到“最近的障礙物”的距離。這個(gè)障礙物可能是極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)、支點(diǎn)也可能是某個(gè)無(wú)法繞開的空白。幾何級(jí)數(shù)在 (z1) 有一個(gè)一階極點(diǎn)所以它在原點(diǎn)展開時(shí)收斂半徑正好是 1。但是你看函數(shù)在 (z-1)、(zi)、(z2i) 這些地方都好好的級(jí)數(shù)只是到了 (|z|1) 的邊界就發(fā)散了這是因?yàn)槭諗繄A盤被 (z1) 這個(gè)最近的奇點(diǎn)“卡”住了。一個(gè)更準(zhǔn)確的結(jié)論是冪級(jí)數(shù)的收斂圓周上至少存在一個(gè)奇點(diǎn)使得函數(shù)不可能解析地穿過(guò)那一點(diǎn)。否則如果圓周上處處都能向外延拓利用圓周的緊致性一定能找到有限個(gè)鄰域覆蓋它最后把整個(gè)圓盤向外擴(kuò)大一點(diǎn)這就會(huì)與收斂半徑的極大性矛盾。這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明收斂圓盤不是一堵實(shí)心的墻而更像一個(gè)氣球氣球壁會(huì)在某些點(diǎn)奇點(diǎn)被頂住但只要你繞開這些點(diǎn)氣球還能繼續(xù)膨脹。所以真正的障礙是奇點(diǎn)而不是級(jí)數(shù)本身。在解析延拓的語(yǔ)境下你首先要會(huì)判斷一個(gè)障礙是哪種類型。孤立奇點(diǎn)分為可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)或者支點(diǎn)又是另外一回事。極點(diǎn)不是不能繞本性奇點(diǎn)也可以從旁邊繞開但如果你想在包含該點(diǎn)的單連通區(qū)域里獲得單值全純函數(shù)那就做不到。這也是為什么許多解析函數(shù)最終的定義域會(huì)被迫開“洞”。2.3 解析元素與鏈?zhǔn)秸归_標(biāo)準(zhǔn)教科書里那套“圓盤接圓盤”的流程如果你要真的動(dòng)手做一次解析延拓不會(huì)只是泛泛地說(shuō)“選一個(gè)新圓心繼續(xù)展開”而是需要把過(guò)程規(guī)范化。這里先介紹兩個(gè)術(shù)語(yǔ)后面會(huì)反復(fù)用到。第一個(gè)術(shù)語(yǔ)叫“解析元素”簡(jiǎn)單說(shuō)就是“一個(gè)圓盤 圓盤上的一個(gè)冪級(jí)數(shù)”。一個(gè)正在被延拓的函數(shù)在任何時(shí)刻都可以看成由一個(gè)解析元素代表。第二個(gè)術(shù)語(yǔ)叫“直接解析延拓”如果兩個(gè)解析元素的圓盤有交集并且它們?cè)谶@個(gè)交集上處處相等那么這兩個(gè)解析元素就是彼此的直接延拓。完整延拓一個(gè)函數(shù)到目標(biāo)點(diǎn) (z^*)標(biāo)準(zhǔn)流程分四步在初始已知點(diǎn)附近取定一個(gè)解析元素 ((f_0,D_0))。畫一條從 (D_0) 內(nèi)某點(diǎn)出發(fā)、終點(diǎn)為 (z^*) 的連續(xù)路徑并確保路徑繞開所有奇點(diǎn)。沿這條路徑選一串小圓盤 (D_0,D_1,\dots,D_n)要求相鄰圓盤兩兩相交后一個(gè)圓盤的圓心落在前一個(gè)圓盤內(nèi)部。在每個(gè)新圓盤內(nèi)用前一個(gè)圓盤里的信息做泰勒展開得到新的解析元素一路做到目標(biāo)點(diǎn)。第 3 步是整個(gè)流程的靈魂。后一個(gè)圓心必須落在前一個(gè)圓盤內(nèi)部而不是任意選取。原因很簡(jiǎn)單只有在前一個(gè)圓盤內(nèi)部你才知道函數(shù)值和各階導(dǎo)數(shù)才能放心做泰勒展開如果新圓心已經(jīng)跑出已知范圍那展開就無(wú)從談起。所以整個(gè)延拓過(guò)程是“摸著石頭過(guò)河”每一步都必須留下足夠的重疊區(qū)作為證據(jù)證明兩個(gè)局部表示確實(shí)屬于同一個(gè)函數(shù)。在實(shí)際計(jì)算中你當(dāng)然不會(huì)真的在計(jì)算機(jī)里鋪幾百個(gè)圓盤。多數(shù)時(shí)候只要找到一個(gè)已知的積分表達(dá)式、微分方程或函數(shù)方程然后去驗(yàn)證它在新區(qū)域內(nèi)滿足同樣的局部性質(zhì)延拓就完成了。但理解“圓盤鏈”這個(gè)幾何圖像依然很重要因?yàn)楹芏喽ɡ?、反例和邊界行為都建立在這個(gè)圖像之上。等后面看到對(duì)數(shù)函數(shù)繞一圈回不到原點(diǎn)時(shí)你還會(huì)感謝現(xiàn)在鋪下的這個(gè)概念基礎(chǔ)。3. 手把手做三次延拓幾何級(jí)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、Gamma 函數(shù)理論說(shuō)了這么多不親手算一次總是隔著一層。這一節(jié)選三個(gè)有代表性的例子難度遞進(jìn)覆蓋了“簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)延拓”“多值函數(shù)延拓”“積分表示延拓”三種典型場(chǎng)景。3.1 實(shí)操前先記住兩條判斷法則在進(jìn)入例子之前我先給兩條很實(shí)用的經(jīng)驗(yàn)法則。這不算嚴(yán)謹(jǐn)定理但能幫你少走很多彎路。第一條如果你在某個(gè)局部區(qū)域能找到另一個(gè)已知函數(shù)比如有理函數(shù)、特殊函數(shù)、積分式和當(dāng)前函數(shù)完全相等那么直接把這個(gè)已知函數(shù)“移”到更大區(qū)域去用是合法的前提是兩邊在重疊區(qū)域沒有任何分歧。唯一性定理保證了只要重疊部分相等結(jié)果就不會(huì)錯(cuò)。第二條如果找不到閉式只能老老實(shí)實(shí)做圓盤鏈。但每前進(jìn)一步都要檢查新級(jí)數(shù)的收斂半徑確認(rèn)新圓盤覆蓋到了舊圓盤之外的區(qū)域。如果新圓盤反而縮水了那說(shuō)明這個(gè)圓心選得不好換個(gè)更合適的位置再來(lái)。另外記一個(gè)常用結(jié)論把 (1/(1-z)) 在任意非奇點(diǎn) (a) 處展開的級(jí)數(shù)是 (\sum_{k\ge0}(z-a)^k/(1-a)^{k1})收斂半徑是 (|1-a|)。這個(gè)公式在后面的第一個(gè)例子里會(huì)反復(fù)用到。3.2 例子一幾何級(jí)數(shù)的“越界”全過(guò)程回到最初的級(jí)數(shù) (f(z)1zz^2\cdots)它在 (|z|1) 內(nèi)收斂?，F(xiàn)在我想求 (z-1.2) 處的值。注意這個(gè)點(diǎn)距離原點(diǎn) 1.2原始級(jí)數(shù)在這里絕對(duì)發(fā)散直接套級(jí)數(shù)公式是錯(cuò)的。但如果用延拓的思維一切就合理了。第一步把函數(shù)寫成收斂半徑內(nèi)的形式 (f(z)1/(1-z))。第二步找一個(gè)離目標(biāo)點(diǎn)足夠近、但又還在已知圓盤內(nèi)的新圓心。剛才用過(guò)的 (a-\frac12) 正好合適因?yàn)?(-1.2) 到 (-0.5) 的距離只有 0.7遠(yuǎn)小于新級(jí)數(shù)收斂半徑 1.5。于是把 (a-\frac12) 帶入展開公式[ f(z)\sum_{k0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{k1}\left(z\frac12\right)^k ]現(xiàn)在代入 (z-1.2)[ z\frac12-0.7 ]公比為[ \frac{2}{3}\times(-0.7)-\frac{7}{15} ]它的絕對(duì)值小于 1所以新級(jí)數(shù)收斂。算出來(lái)的值等于[ \sum_{k0}^{\infty}\frac23\left(-\frac{7}{15}\right)^k \frac{2/3}{17/15} \frac{2/3}{22/15} \frac{5}{11} ]另一方面直接算 (1/(1-(-1.2))1/2.25/11)結(jié)果完全一致。這個(gè)過(guò)程相當(dāng)于原來(lái)的級(jí)數(shù)在 (-1.2) 處“查無(wú)此定義”但通過(guò)換圓心我們借道 (-0.5) 這個(gè)中轉(zhuǎn)站悄悄把函數(shù)值延伸了過(guò)去。如果你覺得這個(gè)例子有點(diǎn)簡(jiǎn)單因?yàn)槲覀円呀?jīng)提前知道閉式 (1/(1-z))那你可以換個(gè)角度理解這個(gè)例子的價(jià)值不在于算出答案而在于展示了“級(jí)數(shù)換圓心”的具體算術(shù)過(guò)程。要知道對(duì)于大部分沒有閉式的函數(shù)比如微分方程的解、特殊函數(shù)、隱式確定的函數(shù)你能依賴的恰恰就是這種“換圓心重展開”的笨辦法。練習(xí)幾何級(jí)數(shù)是為了把鏈條展開的肌肉記憶建立起來(lái)。3.3 例子二對(duì)數(shù)函數(shù)繞一圈竟然回不到原來(lái)的值如果說(shuō)幾何級(jí)數(shù)的延拓是“順利走出國(guó)門”那么對(duì)數(shù)函數(shù)的延拓就是一堂“邊境沖突”課。考慮對(duì)數(shù)函數(shù)的主支 (\log z)其中規(guī)定在正實(shí)軸上取實(shí)數(shù)值即 (\log 10)。我們?cè)?(z1) 附近做泰勒展開[ \log z\sum_{n1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(z-1)^n ]這個(gè)展開的收斂半徑是 1。為什么剛好是 1因?yàn)殡x圓心 1 最近的障礙是原點(diǎn) (z0)而對(duì)數(shù)函數(shù)在原點(diǎn)有本性奇點(diǎn)一般的“支點(diǎn)”行為繞不過(guò)去。所以這個(gè)展開式在 (|z-1|1) 內(nèi)有效圓盤邊界剛好切到原點(diǎn)?，F(xiàn)在做一件很有挑釁意味的事沿著以原點(diǎn)為中心、半徑為 1 的單位圓走一圈。具體來(lái)說(shuō)讓 (z(t)e^{it})從 (t0) 開始慢慢走到 (t2\pi)。在整個(gè)路徑上我們不一定能直接用最開始的泰勒級(jí)數(shù)因?yàn)樽叩?(zi)、(z-1) 這些點(diǎn)時(shí)(z-1) 的模已經(jīng)超過(guò) 1 了。我們需要在每個(gè)局部重新展開、把圓盤鏈一環(huán)一環(huán)接上去。這件事可以實(shí)際操作但更重要的是看清結(jié)果。如果每一步都要求 (\log z) 連續(xù)變化那么 (\log e^{it}) 的虛部就必須等于 (t)而不是主值約定里的 ((-\pi,\pi])。于是從 (t0) 出發(fā)走完一整圈回到 (z1) 時(shí)函數(shù)值是[ \log 12\pi i2\pi i ]出發(fā)之前明明是 0走了一圈回來(lái)變成了 (2\pi i)同一個(gè)點(diǎn) (z1)同一個(gè)函數(shù)卻因?yàn)樽叩穆凡煌玫搅瞬煌闹?。這是不是說(shuō)解析延拓的唯一性定理出問(wèn)題了并不是。唯一性定理要求延拓所覆蓋的區(qū)域不能有“洞”。單位圓盤去掉原點(diǎn)以后區(qū)域不是單連通的對(duì)數(shù)函數(shù)在這個(gè)帶洞區(qū)域上繞行一周多值性就不可避免地暴露出來(lái)了。為了處理這種現(xiàn)象數(shù)學(xué)上引入了“黎曼面”的概念把每一圈延拓得到的不同函數(shù)值放在不同的“層”上同一個(gè) (z) 在不同層對(duì)應(yīng)不同值。而在日常處理中更簡(jiǎn)單的做法是在復(fù)平面上畫一條割線通常取負(fù)實(shí)軸強(qiáng)行規(guī)定函數(shù)不允許穿過(guò)割線這樣區(qū)域內(nèi)就變成單連通的對(duì)數(shù)也恢復(fù)成單值函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)的延拓揭示了一個(gè)非常重要的道理解析延拓的結(jié)果未必是一個(gè)單值函數(shù)它可能是一個(gè)多值函數(shù)在不同分支之間的連續(xù)流動(dòng)。這個(gè)認(rèn)知會(huì)幫你避開后續(xù)學(xué)習(xí)中很多的混亂。3.4 例子三Gamma 函數(shù)和 Zeta 函數(shù)教科書里的“名場(chǎng)面”如果說(shuō)前兩個(gè)例子還停留在復(fù)變函數(shù)教材的入門章節(jié)那 Gamma 函數(shù)和 Zeta 函數(shù)的延拓就是把這項(xiàng)技術(shù)用到真正硬核對(duì)象上的經(jīng)典示范。先看 Gamma 函數(shù)。它最常見的定義是積分[ \Gamma(s)\int_0^{\infty}e^{-t}t^{s-1},dt ]這個(gè)積分在 (\operatorname{Re}(s)0) 時(shí)收斂。注意這里已經(jīng)把參數(shù) (s) 當(dāng)作復(fù)數(shù)了而不是像概率論里那樣只考慮正實(shí)數(shù)。為什么要求實(shí)部大于 0因?yàn)樵?(t\to 0) 時(shí)(t^{s-1}) 這一項(xiàng)會(huì)產(chǎn)生可積性問(wèn)題只有 (\operatorname{Re}(s)0)積分在原點(diǎn)附近才不發(fā)散?，F(xiàn)在要把它延拓到整個(gè)復(fù)平面。一種干凈的寫法是把積分拆成兩段[ \Gamma(s)\int_0^{1}e^{-t}t^{s-1},dt\int_1^{\infty}e^{-t}t^{s-1},dt ]第二段積分在任意復(fù)數(shù) (s) 下都沒問(wèn)題因?yàn)?(e^{-t}) 在無(wú)窮遠(yuǎn)處指數(shù)衰減壓得住任何冪次 (t^{s-1})。真正的麻煩全在第一段。把 (e^{-t}) 展開成冪級(jí)數(shù)[ e^{-t}\sum_{n0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}t^n ]于是第一段積分變成[ \int_0^{1}\sum_{n0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}t^{sn-1},dt \sum_{n0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(sn)} ]看到這個(gè)級(jí)數(shù)延拓就完成了一大半。右邊每一項(xiàng)在 (s-n) 處有一個(gè)一階極點(diǎn)在其他地方都是解析的整個(gè)級(jí)數(shù)在去掉非正整數(shù)點(diǎn)后局部一致收斂因此它定義了一個(gè)亞純函數(shù)。于是 Gamma 函數(shù)就從“只對(duì) (\operatorname{Re}(s)0) 有定義的積分”變成了“在整個(gè)復(fù)平面上除了 (s0,-1,-2,\dots) 這些極點(diǎn)外都有定義的亞純函數(shù)”。這是一個(gè)非常漂亮的延拓極點(diǎn)位置直接從級(jí)數(shù)中暴露出來(lái)不需要額外背誦。再來(lái)看黎曼 Zeta 函數(shù)。它的經(jīng)典定義是 Dirichlet 級(jí)數(shù)[ \zeta(s)\sum_{n1}^{\infty}\frac{1}{n^s} ]這個(gè)級(jí)數(shù)只在 (\operatorname{Re}(s)1) 時(shí)絕對(duì)收斂。要把它延拓到整個(gè)復(fù)平面比 Gamma 函數(shù)更考驗(yàn)技巧。最常用的方法之一是利用圍道積分。取一條從正實(shí)軸上的 (\infty) 出發(fā)、繞原點(diǎn)