上周有個(gè)初二學(xué)生拿著月考卷子來(lái)找我指著填空題“到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的____心”說(shuō)“老師我填的外心錯(cuò)在哪”我說(shuō)你是不是把角平分線(xiàn)和垂直平分線(xiàn)記反了他不好意思地點(diǎn)點(diǎn)頭。這真不是我第一次遇到這種情況了——內(nèi)心、外心、重心、垂心這四個(gè)名字每個(gè)字單拎出來(lái)都認(rèn)識(shí)湊到一起就成了不少人的噩夢(mèng)。更麻煩的是這四“心”不只是填空題里考一下后面學(xué)圓、學(xué)相似、學(xué)解直角三角形甚至到高中向量、解析幾何都會(huì)頻繁冒出來(lái)?；A(chǔ)一旦沒(méi)打牢后面就是連鎖反應(yīng)地丟分。所以這篇文章我想換一個(gè)思路來(lái)講不從“背定義”入手而從它們?cè)趺幢划?huà)出來(lái)、有哪些功能、在題目里怎么說(shuō)人話(huà)把四個(gè)心一次性捋清楚。初中生、高中生或者家里有娃正在被四個(gè)心折磨的家長(zhǎng)都可以按這個(gè)思路過(guò)一遍。1. 從定義源頭拆開(kāi)四個(gè)“心”分別由什么線(xiàn)交出來(lái)四心最根本的區(qū)別在于“誰(shuí)和誰(shuí)相交”。每一組線(xiàn)不同得到的點(diǎn)就不同對(duì)應(yīng)的性質(zhì)也完全不同?；靵y的根源往往就是把這四組線(xiàn)記串了。1.1 內(nèi)心三條角平分線(xiàn)的相遇點(diǎn)內(nèi)心這個(gè)詞我建議牢牢抓住兩個(gè)字內(nèi)切。它是三角形內(nèi)切圓的圓心是三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。為什么角平分線(xiàn)交出來(lái)的是內(nèi)切圓圓心因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)有一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。兩條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn) I 之后I 到三邊的距離都相等這個(gè)距離正好就是內(nèi)切圓半徑 r。既然到三邊等距那就以 I 為圓心畫(huà)個(gè)圓圓剛好能貼住三條邊于是就有了內(nèi)切圓。所以以后看到“到三邊距離相等”這個(gè)條件第一反應(yīng)必須是內(nèi)心。角平分線(xiàn)怎么畫(huà)用圓規(guī)以頂點(diǎn)為圓心畫(huà)弧交角兩邊于兩個(gè)點(diǎn)再分別以這兩個(gè)點(diǎn)為圓心畫(huà)等半徑的弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線(xiàn)就是角平分線(xiàn)。作兩條角平分線(xiàn)它們一交匯內(nèi)心就出來(lái)了。1.2 外心三條垂直平分線(xiàn)的相遇點(diǎn)外心是三角形外接圓的圓心對(duì)應(yīng)的是三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)。垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等。兩條垂直平分線(xiàn)交于 O 之后O 到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等這個(gè)距離就是外接圓半徑 R。所以“到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等”的點(diǎn)永遠(yuǎn)是外心。這里特別容易和內(nèi)心混。角平分線(xiàn)管的是“角”和“邊”的距離垂直平分線(xiàn)管的是“線(xiàn)段”和“端點(diǎn)”的距離。一句話(huà)概括內(nèi)心關(guān)心邊外心關(guān)心頂點(diǎn)。尺規(guī)作外心也很直接分別作兩條邊的垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)就是外心。垂直平分線(xiàn)的畫(huà)法是取線(xiàn)段兩端點(diǎn)用大于線(xiàn)段一半的長(zhǎng)度作半徑兩端點(diǎn)各畫(huà)弧弧的兩個(gè)交點(diǎn)一連就是垂直平分線(xiàn)。1.3 重心三條中線(xiàn)的相遇點(diǎn)重心是三條中線(xiàn)的交點(diǎn)。中線(xiàn)是什么連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段。很多學(xué)生理解重心有天然優(yōu)勢(shì)因?yàn)槲锢碚n講過(guò)重心如果把這個(gè)三角形當(dāng)成一塊均勻的薄板用手指頂在某一點(diǎn)能讓它保持水平那個(gè)點(diǎn)就是重心。幾何上的重心和物理上的重心恰好是一回事。三條中線(xiàn)為什么一定交于一點(diǎn)你可以先畫(huà)兩條中線(xiàn)它們交于 G再連接第三個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)那條線(xiàn)也會(huì)老老實(shí)實(shí)經(jīng)過(guò) G這就是三中線(xiàn)共點(diǎn)。共點(diǎn)的證明方法很多面積法、向量法都行初中階段先接受這個(gè)事實(shí)動(dòng)手畫(huà)圖驗(yàn)證更直觀。1.4 垂心三條高線(xiàn)的相遇點(diǎn)垂心是三條高線(xiàn)的交點(diǎn)。高線(xiàn)就是過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)三條高交于一點(diǎn) H這個(gè) H 就叫垂心。垂心的名字里帶一個(gè)“垂”字這是最重要的記憶鉤子。以后凡是題目里出現(xiàn)“直角”“垂直”“高”這些字眼能往垂心想的就往垂心想。比如題目說(shuō)“三角形兩條高交于一點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)叫____”答案就是垂心。1.5 四心速查表定義與核心性質(zhì)一欄看清把四個(gè)心的定義和核心性質(zhì)放一張表里每一條都值得反復(fù)對(duì)照名稱(chēng)由什么線(xiàn)相交得到核心性質(zhì)對(duì)應(yīng)的圓內(nèi)心三條角平分線(xiàn)到三邊距離相等內(nèi)切圓外心三條垂直平分線(xiàn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等外接圓重心三條中線(xiàn)重心分中線(xiàn)為2:1無(wú)物理平衡點(diǎn)垂心三條高線(xiàn)與三邊垂直關(guān)系相關(guān)無(wú)這張表背熟只是第一步更關(guān)鍵的是理解每行背后的邏輯。角平分線(xiàn)管“角”所以?xún)?nèi)心盯的是角的兩邊垂直平分線(xiàn)管“線(xiàn)段”所以外心盯的是線(xiàn)段的端點(diǎn)中線(xiàn)管“中點(diǎn)”所以重心和中點(diǎn)比例脫不了關(guān)系高線(xiàn)管“垂直”所以垂心和垂直天生綁定。把“線(xiàn)”和“點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系理清四個(gè)心就不太會(huì)記亂了。2. 決定它們“內(nèi)外”的規(guī)律為什么外心和垂心會(huì)跑到三角形外面很多人的第一個(gè)誤區(qū)是以為四個(gè)心永遠(yuǎn)都在三角形內(nèi)部。實(shí)際上三角形一變鈍外心和垂心就開(kāi)始“往外跑”。這是四心區(qū)分中最容易出問(wèn)題的地方必須單獨(dú)拎出來(lái)講清楚。2.1 銳角三角形四心都乖乖待在內(nèi)部銳角三角形是最“和諧”的狀態(tài)三個(gè)內(nèi)角都小于90°此時(shí)內(nèi)心在內(nèi)部因?yàn)樗山瞧椒志€(xiàn)相交得到角平分線(xiàn)本身全部在三角形內(nèi)部重心在內(nèi)部因?yàn)槿龡l中線(xiàn)都在三角形內(nèi)部相交垂心在內(nèi)部因?yàn)槿龡l高線(xiàn)也都落在三角形內(nèi)部外心在內(nèi)部因?yàn)槿龡l垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)此時(shí)正好落在三角形里面。所以只要題中說(shuō)“銳角三角形”你腦海里可以直接默認(rèn)四心全在內(nèi)部這樣很多選項(xiàng)題能一眼排除掉一半答案。2.2 直角三角形外心落在斜邊中點(diǎn)垂心落在直角頂點(diǎn)直角三角形是一個(gè)“臨界狀態(tài)”兩個(gè)心的位置發(fā)生了質(zhì)變外心斜邊BC上的垂直平分線(xiàn)、直角邊AB的垂直平分線(xiàn)、直角邊AC的垂直平分線(xiàn)它們的交點(diǎn)正好落在斜邊中點(diǎn)。所以直角三角形的外心就是斜邊中點(diǎn)外接圓半徑等于斜邊的一半。這也是“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊一半”這個(gè)定理的另一種版本——那條中線(xiàn)其實(shí)就是外接圓的半徑。垂心直角三角形兩條直角邊本身就是兩條高它們相交于直角頂點(diǎn)C第三條高也是從C出發(fā)垂直于斜邊。所以直角三角形的垂心不是別的正是直角頂點(diǎn)C。為了加深印象你可以畫(huà)一個(gè)銳角三角形然后想象其中一條直角邊慢慢“壓平”。當(dāng)其中一個(gè)角剛好到90°時(shí)外心從內(nèi)部滑到斜邊中點(diǎn)上垂心也正好挪到直角頂點(diǎn)上。這個(gè)變化是連續(xù)的不是憑空冒出來(lái)的。2.3 鈍角三角形外心和垂心雙雙離場(chǎng)三角形一旦變成鈍角三角形情況就開(kāi)始“失控”了內(nèi)心仍然在內(nèi)部因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)不會(huì)因?yàn)榻氢g就跑出去重心仍然在內(nèi)部因?yàn)橹芯€(xiàn)連接的是頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)始終在三角形內(nèi)部外心跑到三角形外部因?yàn)閮蓷l垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)已經(jīng)越過(guò)了某條邊垂心也跑到三角形外部因?yàn)殁g角所對(duì)的兩條高線(xiàn)畫(huà)出來(lái)之后它們的交點(diǎn)落到了三角形外面。很多學(xué)生第一次看到鈍角三角形的外心或垂心畫(huà)在外面時(shí)都很驚訝這也能叫“心”實(shí)際上數(shù)學(xué)里的“心”只是一個(gè)幾何交點(diǎn)的稱(chēng)謂并不保證一定在圖形里面。因此做題時(shí)一定記得先判斷三角形類(lèi)型再想每個(gè)心的位置順序反了就會(huì)踩坑。2.4 從“變鈍”的過(guò)程理解位置變化的本質(zhì)為什么角一鈍外心和垂心就往外跑我們可以拿等腰三角形舉例。畫(huà)一個(gè)頂角不斷增大的等腰三角形底邊水平放置。當(dāng)頂角比較小的時(shí)候外接圓圓心在三角形內(nèi)部頂角逐漸增大到正好90°時(shí)外接圓圓心落在斜邊此時(shí)是底邊如果頂角90°底邊是斜邊中點(diǎn)上頂角超過(guò)90°后外心就跑到三角形外面去了。垂心也有類(lèi)似的“離場(chǎng)”過(guò)程當(dāng)頂角超過(guò)90°兩條腰上的高會(huì)在三角形外部相交。理解這個(gè)變化能幫你記住一個(gè)結(jié)論一般情況下內(nèi)心和重心永遠(yuǎn)在內(nèi)部外心和垂心在銳角三角形里也在內(nèi)部但只要三角形變鈍它們就雙雙跑出去。這個(gè)規(guī)律比硬記“哪個(gè)心在哪個(gè)位置”要可靠得多。3. 從用途和公式反過(guò)來(lái)記遇到這些條件該找哪個(gè)心光會(huì)判斷位置還不夠做題時(shí)更重要的問(wèn)題是看到什么條件該聯(lián)想到哪個(gè)心這一章我按“功能”給你梳理一遍每類(lèi)心都配上最?？嫉墓胶陀梅?。3.1 內(nèi)心管內(nèi)切圓出角度公式和面積法內(nèi)心對(duì)應(yīng)的圓是內(nèi)切圓所以凡是牽涉到內(nèi)切圓半徑、到三邊距離的題目都在暗示你找內(nèi)心。內(nèi)心最?？嫉慕嵌裙绞恰螧IC 90° ?∠A其中 I 是內(nèi)心。這個(gè)式子怎么來(lái)的因?yàn)?BI、CI 是角平分線(xiàn)所以在三角形 BIC 中底角分別是∠B的一半和∠C的一半于是∠BIC 180° - (?∠B ?∠C) 180° - ?(180° - ∠A) 90° ?∠A理解了這個(gè)推導(dǎo)你就不必死記公式了考試時(shí)現(xiàn)場(chǎng)推都能寫(xiě)出來(lái)。相比后面要講的外心和垂心角度公式這個(gè)公式帶著“半角”很容易識(shí)別。內(nèi)心還有一個(gè)非常實(shí)用的面積關(guān)系。設(shè)三角形面積為 S半周長(zhǎng)為 s (abc)/2內(nèi)切圓半徑為 r則S r·s因?yàn)榘褍?nèi)心和三個(gè)頂點(diǎn)連起來(lái)三角形會(huì)被分成三個(gè)小三角形每個(gè)小三角形的高都是 r所以總面積就是 ?ar ?br ?cr r·(abc)/2 r·s。這個(gè)公式是求內(nèi)切圓半徑的萬(wàn)能鑰匙。3.2 外心管外接圓和正弦定理綁定外心對(duì)應(yīng)的圓是外接圓所以提到外接圓半徑 R考點(diǎn)基本都掛靠在外心身上。最出名的是正弦定理a / sin A b / sin B c / sin C 2R這里的 R 就是外接圓半徑圓心就是外心。這個(gè)公式是求解三角形外接圓半徑、邊長(zhǎng)、角度的重要工具高中階段會(huì)大量使用。外心的角度公式也要記牢若 O 是外心∠BAC ∠A 所對(duì)的弧是弧 BC那么圓心角 ∠BOC 2∠A銳角三角形直接成立鈍角時(shí)注意取對(duì)應(yīng)弧的圓心角關(guān)系常常借助“同弧所對(duì)圓周角等于圓心角一半”來(lái)轉(zhuǎn)換。本質(zhì)上這就是圓周角定理同弧上的圓周角是圓心角的一半。所以外心和“倍數(shù)關(guān)系”綁定看到 2 倍角優(yōu)先想外心。直角三角形中外心在斜邊中點(diǎn)上所以外接圓半徑 R 斜邊/2這也是很常見(jiàn)的考點(diǎn)解題時(shí)能直接用。3.3 重心中線(xiàn)的比例、坐標(biāo)與平衡點(diǎn)重心相關(guān)的考點(diǎn)明確且集中在三個(gè)方向第一重心把每條中線(xiàn)分成 2:1。準(zhǔn)確說(shuō)法是若 AD 是中線(xiàn)G 是重心則 AG:GD 2:1。也就是從頂點(diǎn)到重心的長(zhǎng)度是重心到對(duì)邊中點(diǎn)長(zhǎng)度的兩倍。所以重心位于每條中線(xiàn)上距離頂點(diǎn)三分之二處。記憶技巧上面這一段長(zhǎng)是 2 份下面這一段短是 1 份。第二重心坐標(biāo)公式。在平面直角坐標(biāo)系中若三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是 A(x?, y?)、B(x?, y?)、C(x?, y?)則重心 G 的坐標(biāo)是G((x?x?x?)/3, (y?y?y?)/3)就是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別求平均。這個(gè)公式在解析幾何題里非常實(shí)用本質(zhì)上是重心作為“平均點(diǎn)”的體現(xiàn)。第三重心和面積的關(guān)系。連接重心和三個(gè)頂點(diǎn)會(huì)把原來(lái)的三角形分成三個(gè)面積相等的小三角形。也就是說(shuō) △ABG、△BCG、△CAG 面積相等。遇到“三等分面積”“中線(xiàn)交點(diǎn)”類(lèi)的題目直接鎖定重心。3.4 垂心垂直關(guān)系與補(bǔ)角公式垂心的核心是“垂直”。凡是題目出現(xiàn)高線(xiàn)、垂直符號(hào)、直角條件都可以往垂心靠。垂心也有一個(gè)角度公式和內(nèi)心的公式很容易混淆若 H 是垂心在銳角三角形中∠BHC 180° - ∠A這個(gè)式子的幾何直覺(jué)是BH 垂直于 ACCH 垂直于 AB兩邊分別垂直的兩條線(xiàn)它們的夾角和原來(lái)的角互補(bǔ)所以是 180° 減去 ∠A。這和內(nèi)心的 90° ?∠A 完全是兩個(gè)味道一定要分清楚。一看到公式里是“180°減”就想到垂心一看到“90°加半角”就想到內(nèi)心。垂心還有一個(gè)經(jīng)典結(jié)論銳角三角形的垂心 H 和三個(gè)頂點(diǎn)連接形成的四個(gè)三角形中每個(gè)三角形的外接圓都和原三角形一樣更進(jìn)階的結(jié)論是垂心關(guān)于三邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在原三角形的外接圓上。這個(gè)作為拓展了解即可競(jìng)賽題里偶爾會(huì)用到。3.5 一道直角三角形例題把兩個(gè)半徑一次算清光講公式不練不行。拿最經(jīng)典的 5-12-13 直角三角形來(lái)演示。有一個(gè)直角三角形直角邊分別為 5 和 12斜邊為 13。外接圓半徑直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)所以 R 13/2 6.5。內(nèi)切圓半徑先用面積法。面積 S ? × 5 × 12 30半周長(zhǎng) s (51213)/2 15于是 r S/s 30/15 2。如果你用直角三角形的特殊公式 r (ab-c)/2 (512-13)/2 2也能對(duì)上。這題同時(shí)把外心、內(nèi)心、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑全串起來(lái)了每次做一遍都能強(qiáng)化記憶。4. 高頻錯(cuò)題復(fù)盤(pán)最容易搞混的四組陷阱學(xué)生最容易錯(cuò)的不是難題而是那些看起來(lái)特別基礎(chǔ)、實(shí)際上暗藏陷阱的題。下面這幾個(gè)坑我教過(guò)的學(xué)生基本都踩過(guò)提前打預(yù)防針能少丟很多冤枉分。4.1 陷阱一把“角平分線(xiàn)”和“垂直平分線(xiàn)”記反最典型的錯(cuò)法就是開(kāi)頭的填空題到三邊距離相等的點(diǎn)填成“外心”。本質(zhì)是把“角平分線(xiàn)交點(diǎn)內(nèi)心”和“垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)外心”記反了。如何根治記住這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系角平分線(xiàn)管“角”角的兩邊都是邊所以角平分線(xiàn)交點(diǎn)是到“三邊”等距的內(nèi)心垂直平分線(xiàn)管“線(xiàn)段”線(xiàn)段的端點(diǎn)是頂點(diǎn)所以垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)是到“三頂點(diǎn)”等距的外心。以后只要看到題干里出現(xiàn)“邊”還是“頂點(diǎn)”答案就二選一到三邊距離相等 → 內(nèi)心到三頂點(diǎn)距離相等 → 外心這個(gè)“邊和頂點(diǎn)”的區(qū)分比單純背哪個(gè)線(xiàn)交哪個(gè)心更抗遺忘。4.2 陷阱二默認(rèn)外心、垂心永遠(yuǎn)在內(nèi)部很多學(xué)生在選擇題里看到“外心一定在三角形內(nèi)部”這種表述順手就打勾然后丟分。正確的結(jié)論是外心在銳角三角形內(nèi)部在直角三角形斜邊中點(diǎn)處在鈍角三角形外部。垂心類(lèi)似銳角在內(nèi)部直角在直角頂點(diǎn)鈍角在外部。做題時(shí)看到“一定”“始終”“永遠(yuǎn)”這種絕對(duì)化詞語(yǔ)要立刻警惕。四心里只有內(nèi)心和重心敢說(shuō)“任何三角形都在內(nèi)部”外心和垂心都不敢說(shuō)這個(gè)話(huà)。把這個(gè)意識(shí)刻在腦子里能避開(kāi)大量送命題。4.3 陷阱三三個(gè)角度公式互相串臺(tái)內(nèi)心 ∠BIC 90° ?∠A外心 ∠BOC 2∠A垂心 ∠BHC 180° - ∠A。這三個(gè)公式分別是“半角”“二倍角”“補(bǔ)角”非常容易記混。我有一個(gè)實(shí)用的辨析方法外心和圓綁在一起圓里最經(jīng)典的結(jié)論是“圓周角二倍于圓心角”所以外心用 2∠A內(nèi)心是角平分線(xiàn)交點(diǎn)和“一半”有關(guān)所以是 90° 加半角垂心和高有關(guān)高的定義是 90°但三個(gè)高互相一交叉反而和“補(bǔ)角 180° 減”綁定。你可以把這三個(gè)公式掛靠在對(duì)應(yīng)的圖形上一塊記畫(huà)一個(gè)銳角三角形標(biāo)出內(nèi)心、外心、垂心把三個(gè)角分別寫(xiě)上去圖一畫(huà)出來(lái)公式自然就能恢復(fù)。4.4 陷阱四重心分線(xiàn)比例記成 1:1重心把中線(xiàn)分成 2:1這個(gè)比例是另一個(gè)高頻丟分點(diǎn)。我見(jiàn)過(guò)不少學(xué)生記成 1:1或者把方向記反。方向怎么記重心的位置更靠近底邊還是更靠近頂點(diǎn)更靠近底邊。因?yàn)橹匦牡巾旤c(diǎn)的距離是中線(xiàn)全長(zhǎng)的 2/3到底邊中點(diǎn)的距離是 1/3。也就是說(shuō)頂點(diǎn)到重心這段更長(zhǎng)重心到中點(diǎn)這段更短?！绊旤c(diǎn)那一段是兩份底下那一段是一份”這樣記就不會(huì)反。4.5 考場(chǎng)上最快的判別路徑如果你做題時(shí)腦子突然一片空白先不要慌按下面這個(gè)路徑一層層過(guò)題干說(shuō)“中點(diǎn)、中線(xiàn)、比例 2:1、坐標(biāo)平均”→ 重心題干說(shuō)“垂直、高、直角”→ 垂心題干說(shuō)“到三邊距離相等、內(nèi)切圓、角平分線(xiàn)”→ 內(nèi)心題干說(shuō)“到三頂點(diǎn)距離相等、外接圓、垂直平分線(xiàn)、正弦定理”→ 外心。這套判別路徑基本覆蓋了初中到高中九成的四心題目。核心思路是從“條件關(guān)鍵詞”出發(fā)而不是從“心名”出發(fā)。倒過(guò)來(lái)找往往更穩(wěn)。5. 最后用一套記憶框架收攏從口訣、尺規(guī)作圖到歐拉線(xiàn)前面幾章都是拆分這一章把它們重新組裝成一個(gè)整體。四個(gè)心不是孤立的四個(gè)點(diǎn)它們之間有聯(lián)系、有規(guī)律抓住這些規(guī)律之后記憶量會(huì)小很多。5.1 口訣四句話(huà)鎖住四個(gè)心口訣可以這樣編角平分線(xiàn)交內(nèi)心內(nèi)切圓到邊等距親 中垂線(xiàn)交是外心外接圓到頂?shù)染嘟?中線(xiàn)交點(diǎn)是重心分線(xiàn)二比一記分明 高線(xiàn)交點(diǎn)是垂心垂直方向定乾坤。這個(gè)口訣把“什么線(xiàn)交出來(lái)、對(duì)應(yīng)什么圓、關(guān)鍵性質(zhì)是什么”全塞進(jìn)去了讀三遍就能記住骨架。如果再配上前面講的“邊還是頂點(diǎn)”“倍數(shù)還是補(bǔ)角”這些辨析點(diǎn)細(xì)節(jié)也不容易丟。5.2 親手畫(huà)一遍尺規(guī)作圖比背十遍都有用我建議所有學(xué)生都做一次這個(gè)手工操作在一張紙上畫(huà)一個(gè)銳角三角形然后用尺規(guī)作出四心內(nèi)心選兩個(gè)角作角平分線(xiàn)交點(diǎn)就是內(nèi)心外心選兩條邊作垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)就是外心重心選兩條邊找中點(diǎn)連中線(xiàn)交點(diǎn)就是重心垂心選兩條邊過(guò)對(duì)頂點(diǎn)作垂線(xiàn)交點(diǎn)就是垂心。畫(huà)完之后再畫(huà)一個(gè)直角三角形、一個(gè)鈍角三角形分別重復(fù)一遍。你親眼看到外心在直角三角形落在斜邊上、在鈍角三角形彈出外部看到垂心在直角三角形變成直角頂點(diǎn)這種視覺(jué)記憶遠(yuǎn)比文字定義深刻。尺規(guī)作圖這一步能把你從“知道”推進(jìn)到“理解”再做選擇題時(shí)反應(yīng)速度完全不一樣。5.3 讓特殊三角形當(dāng)你的記憶錨點(diǎn)幾個(gè)特殊三角形的四心位置可以作為你最省力的記憶錨點(diǎn)等邊三角形四心合一都在同一點(diǎn)上。等邊三角形是三心共點(diǎn)嗎不僅三個(gè)是四個(gè)心全部重合在正中心。此時(shí)外接圓半徑 R 是高的 2/3內(nèi)切圓半徑 r 是高的 1/3并且 R 2r。重心分高的比例 2:1 在這里看得最直觀。等腰三角形四心都在底邊的垂直平分線(xiàn)也就是對(duì)稱(chēng)軸上。雖然不重合但都在同一條直線(xiàn)上。這個(gè)結(jié)論可以用來(lái)做動(dòng)態(tài)思考當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀遣粩嘧兓男脑趯?duì)稱(chēng)軸上滑來(lái)滑去變化方向一目了然。直角三角形外心是斜邊中點(diǎn)垂心是直角頂點(diǎn)。這個(gè)錨點(diǎn)一旦建立直角三角形相關(guān)的四心題目就是送分題。5.4 進(jìn)階彩蛋歐拉線(xiàn)和旁心如果你基礎(chǔ)不錯(cuò)或者以后準(zhǔn)備參加競(jìng)賽還可以了解一條漂亮的結(jié)論外心 O、重心 G、垂心 H 三點(diǎn)共線(xiàn)并且 G 在 O 和 H 之間滿(mǎn)足 OG : GH 1 : 2。這條線(xiàn)叫作歐拉線(xiàn)。內(nèi)心一般不在歐拉線(xiàn)上這是歐拉線(xiàn)和內(nèi)心之間的一個(gè)重要區(qū)別。驗(yàn)證歐拉線(xiàn)最直觀的方法是畫(huà)一個(gè)等腰三角形。因?yàn)榈妊切蔚乃男娜趯?duì)稱(chēng)軸上所以 O、G、H 天然共線(xiàn)再量一下三段長(zhǎng)度你會(huì)發(fā)現(xiàn) OG 正好是 GH 的一半。等邊三角形時(shí)O、G、H 重合這條線(xiàn)退化成一個(gè)點(diǎn)。還有一個(gè)延伸概念叫旁心。三角形除了內(nèi)心還有三個(gè)旁心分別是兩條外角平分線(xiàn)和一條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。旁心也是“到三邊距離相等”的點(diǎn)只不過(guò)位置在三角形外部。如果你能理解內(nèi)心是“貼在里面”的內(nèi)切圓圓心那旁心就是“貼在外面”的旁切圓圓心。旁心在初中基礎(chǔ)題里不?？嫉浪拇嬖谀銓?duì)四心的理解會(huì)產(chǎn)生一種“俯視感”。5.5 三分鐘自測(cè)你究竟分清沒(méi)有合上書(shū)問(wèn)自己下面這幾個(gè)問(wèn)題每個(gè)都能迅速回答出來(lái)才算過(guò)關(guān)到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是什么心它由什么線(xiàn)相交得到到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是什么心直角三角形中它在什么位置重心分中線(xiàn)的比例是多少鈍角三角形中內(nèi)心、外心、垂心各在哪個(gè)位置∠BIC 90° ?∠A 對(duì)應(yīng)哪個(gè)心∠BOC 2∠A 對(duì)應(yīng)哪個(gè)心∠BHC 180° - ∠A 對(duì)應(yīng)哪個(gè)心如果中間卡殼了回到前面對(duì)應(yīng)的章節(jié)再看一眼。四個(gè)心的內(nèi)容就這么多本質(zhì)上是一張“線(xiàn)—點(diǎn)—性質(zhì)”的對(duì)應(yīng)表捋順一次之后基本不用再回頭背。最后說(shuō)一點(diǎn)我自己的教學(xué)體會(huì)這四個(gè)心你光看十遍不如動(dòng)手畫(huà)一遍。拿一張白紙畫(huà)一個(gè)銳角三角形用尺規(guī)把四心全找出來(lái)再畫(huà)一個(gè)鈍角三角形親眼看外心和垂心是怎么“跑”出去的。只要親手畫(huà)過(guò)一輪那些定義和性質(zhì)自然就長(zhǎng)在腦子里了。真到了考場(chǎng)上你甚至不需要刻意回憶口訣——拿起筆那個(gè)圖形的構(gòu)造過(guò)程自己會(huì)帶你把答案找出來(lái)。