第一次在示波器上看到李薩如圖形Lissajous Figure的時候我并不知道那是什么。當(dāng)時只是想把信號發(fā)生器兩個通道的輸出同時顯示出來隨手切到了X-Y模式屏幕上突然出現(xiàn)了一個不斷扭動的橢圓——不是教科書上那種規(guī)整的圓而像液體一樣緩緩旋轉(zhuǎn)、變形視覺效果相當(dāng)驚艷。后來學(xué)信號與系統(tǒng)才知道這個看起來像某種藝術(shù)裝置的東西其實是兩個互相垂直的簡諧運動在二維平面上留下的軌跡也是物理、電子工程里一個經(jīng)典到不能再經(jīng)典的波形合成問題。李薩如圖形的名字來自法國物理學(xué)家Jules Antoine Lissajous。19世紀(jì)他用音叉振動配合鏡子反射光點系統(tǒng)性地研究過這類軌跡后來陰極射線示波器普及它成了測量頻率比、觀察相位差的常用手段。簡單說把一個正弦信號接到示波器的X偏轉(zhuǎn)輸入另一個正弦信號接到Y(jié)偏轉(zhuǎn)輸入電子束在屏幕上畫出來的閉合曲線就是李薩如圖形。至于它最終呈現(xiàn)為橢圓、8字還是復(fù)雜的編織花邊取決于兩路信號的頻率比、相位差和振幅比這三個參數(shù)。這篇內(nèi)容不是純理論科普。我會從合成原理講到屏幕讀圖再講實際測量中的用法然后給出三種上手生成李薩如圖形的方式以及我自己調(diào)試過程中踩過的一些坑。適合剛接觸示波器、正在學(xué)信號與系統(tǒng)的學(xué)生也適合剛?cè)胄械挠布こ處熯€有那些喜歡用信號源和虛擬示波器折騰各種波形的愛好者。1. 為什么兩條正弦波疊加會出現(xiàn)“8”字和橢圓1.1 一個小球在兩個彈簧作用下的運動軌跡要理解李薩如圖形可以先想象一個光滑桌面上的小球。這個小球不直接受外力驅(qū)動而是被兩套完全獨立的彈簧系統(tǒng)控制著一套彈簧讓它在x方向來回振動另一套彈簧讓它在y方向來回振動。x方向的振動頻率為f1y方向的振動頻率為f2兩個方向的振幅和初相位也各自獨立。當(dāng)兩套彈簧同時工作時小球在桌面上畫出的路徑就是李薩如圖形。這個類比和示波器的工作原理幾乎一一對應(yīng)。示波器的X-Y模式本質(zhì)上是把CH1輸入的電壓信號送到水平偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)把CH2輸入的電壓信號送到垂直偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)兩個方向同時偏轉(zhuǎn)電子束屏幕上留下的光跡和桌面小球的運動軌跡是同一類數(shù)學(xué)對象。用參數(shù)方程寫出來就是x(t) Ax * sin(2π * f1 * t φ1) y(t) Ay * sin(2π * f2 * t φ2)這里Ax和Ay是振幅f1和f2是頻率φ1和φ2是初相位。只要給定這四個參數(shù)屏幕上就會畫出對應(yīng)的曲線。f1和f2相等時軌跡通常是一條直線或一個橢圓f2為f1的兩倍時軌跡變成經(jīng)典的8字頻率比繼續(xù)加大圖形會越來越復(fù)雜看起來像纏繞的絲線。1.2 頻率比、相位差、振幅比三個參數(shù)各管什么事三個參數(shù)里振幅比最簡單它只影響圖形在屏幕上的橫豎拉伸比例。比如一個本來該是圓的1:1李薩如圖形如果X通道的振幅比Y通道大圖形就會變成扁橢圓看起來像被橫向拉長了。這層關(guān)系在測相位時需要特別留意因為后面會說到的橢圓長短軸比是和相位差相關(guān)的前提就是先把兩路信號的振幅歸一化到相同幅度。相位差對圖形的影響在頻率比為1:1時最直觀。當(dāng)兩個同頻信號的相位差從0度開始逐漸增大時屏幕上的軌跡會從一條斜線逐漸變成橢圓到90度時變成正橢圓再到180度時又收縮成一條反方向的斜線。整個過程連續(xù)且可逆所以通過觀察圖形是直線、橢圓還是圓就能反推出兩路信號之間的相位差。頻率比則是決定圖形復(fù)雜程度的核心參數(shù)。頻率比為2:1時軌跡是帶一個環(huán)的8字3:1時是三葉草形狀2:3時則是雙向纏繞的花邊。頻率比越復(fù)雜圖形越密集。用“花瓣數(shù)”來記最方便水平方向的凸起數(shù)對應(yīng)X軸頻率的倍數(shù)垂直方向的凸起數(shù)對應(yīng)Y軸頻率的倍數(shù)。1.3 為什么圖形要“閉合”必須頻率比是有理數(shù)一個很容易被忽略、但理解之后特別有用的規(guī)律是李薩如圖形只有在兩個信號的頻率比是整數(shù)比時才會穩(wěn)定閉合。如果頻率比是1:2、2:3這種有理數(shù)那么經(jīng)過一段公共周期后運動狀態(tài)會精確重復(fù)圖形會穩(wěn)穩(wěn)停在屏幕上。但如果頻率比是無理數(shù)比如fx:fy √2:1那么兩個信號的相對相位永遠在變化軌跡永遠不會閉合會逐步掃過矩形區(qū)域內(nèi)的無數(shù)個點看起來就是一片模糊的亮區(qū)。這個規(guī)律直接給了我們一個非常靈敏的判斷依據(jù)只要屏幕上出現(xiàn)了穩(wěn)定、清晰、輪廓分明的李薩如圖形就說明兩個信號的頻率比精確地等于某個有理數(shù)。一旦圖形開始緩慢旋轉(zhuǎn)或者像履帶一樣滾動就說明頻率比并不嚴(yán)格等于整數(shù)比可能差了0.01赫茲甚至更小。2. 從屏幕上的圖形反推頻率比與相位差的讀圖方法2.1 頻率比為1:1時橢圓的扁度和傾斜角度都在說話同頻情況下的李薩如圖形是很多人接觸相位測量的第一課。兩路信號頻率相同、但相位差不同圖形變化非常有規(guī)律。相位差Δφ圖形特征直觀判定0°一條直線斜率為正從左下到右上45度對角線45°橢圓長軸斜率為正長軸在45度方向長短軸比約1.414:190°正橢圓長短軸與坐標(biāo)軸平行兩路振幅相同時是標(biāo)準(zhǔn)圓135°橢圓長軸斜率為負長軸在135度方向形狀與45度時相同但傾斜相反180°一條直線斜率為負從左上到右下負45度對角線實際操作中很少有人會精確測量相位差到每一度更多是快速判斷“同相”“反相”“正交”這三種狀態(tài)因為大多數(shù)工程場景只需要區(qū)分它們。比如音頻左右聲道如果反相屏幕上就是一條斜率為負的直線一眼就能看出來。如果需要估算具體的相位差大小可以記住一個近似公式sin|Δφ| ≈ b/a。其中a是橢圓的長半軸b是短半軸。前提是兩路輸入信號振幅已經(jīng)調(diào)成相等?？吹綑E圓后在屏幕上量出長短軸長度用計算器按一下反正弦就能得到相位差的絕對值。2.2 頻率比為m:n時用“切點計數(shù)法”數(shù)出頻率倍數(shù)頻率比不再是1:1時讀圖方法要從“量長短軸”變成“數(shù)切點”。這個方法在工程上非常實用尤其是你手頭只有示波器、沒有頻率計的時候。假設(shè)X通道信號頻率為fxY通道信號頻率為fy兩者的比值已經(jīng)化為最簡整數(shù)比m:n也就是fx:fy m:n。那么畫一條平行于x軸的水平切線與圖形最頂端或最底端相切可以數(shù)到n個切點畫一條平行于y軸的豎直切線與圖形最左端或最右端相切可以數(shù)到m個切點。舉個例子。如果fx:fy 2:3圖形最上方會有3個波峰突出最右側(cè)會有2個波峰突出?？吹竭@樣的圖就能直接寫出頻率比2:3。反過來如果你已知其中一個信號的頻率就能算出另一個信號的頻率這就是李薩如圖形測頻率的基本原理。需要提醒的是這個切點計數(shù)法對圖形穩(wěn)定性要求很高圖形必須是完全不旋轉(zhuǎn)的靜止?fàn)顟B(tài)否則數(shù)出來的是抖動模糊的一團無法判斷。2.3 誰超前誰滯后一個容易忽略但極其實用的判斷技巧判定了相位差大小之后下一步往往是想知道哪個信號超前、哪個信號滯后。如果你用的示波器有“X-Y模式”并且能觀察光點運動方向可以通過旋轉(zhuǎn)方向判斷。但很多數(shù)字示波器在X-Y模式下不顯示光點運動軌跡還有不少初學(xué)者不知道其實有一個特別簡單的方法。以1:1頻率比為例把X通道信號視為參考信號。觀察李薩如圖形與y軸正半軸的交點位置如果圖形與y軸正半軸有交點說明在x 0的時刻y信號的值不為零且Y通道信號更早達到正向最大值也就是Y信號相位超前于X信號。反之如果圖形與y軸負半軸有交點說明Y信號相位滯后于X信號。這個方法不需要看運動方向只要盯著靜態(tài)圖形和坐標(biāo)軸的關(guān)系就夠了拍照后對著屏幕量也很方便。3. 李薩如圖形的工程實用性校頻、相位檢查與同步監(jiān)控3.1 高精度頻率校準(zhǔn)一個古老但依然有效的方法在數(shù)字頻率計普及之前李薩如圖形是測量和校準(zhǔn)頻率的重要手段。用一臺頻率精度已知的信號源作為參考接到X通道把待校準(zhǔn)的信號源接到Y(jié)通道。調(diào)節(jié)待測信號源的頻率直到屏幕上出現(xiàn)穩(wěn)定的閉合圖形然后用切點計數(shù)法讀出頻率比就能標(biāo)定出未知信號的精確頻率。這個方法的靈敏度高得驚人。圖形如果出現(xiàn)緩慢旋轉(zhuǎn)說明兩個信號的頻率比偏離了整數(shù)比偏離程度可以通過旋轉(zhuǎn)一圈的時間來估算。假設(shè)你看到圖形每10秒旋轉(zhuǎn)一圈而基礎(chǔ)頻率是1kHz那么頻率偏差大概在0.1赫茲量級。實際調(diào)頻率的時候這種“找靜止點”的體驗特別有意思頻率細調(diào)旋鈕稍微動一點點圖形就從緩緩旋轉(zhuǎn)變成完全靜止手感極其明顯?，F(xiàn)在很多數(shù)字示波器可以自動測量頻率但如果你在用一個老式模擬示波器或者想驗證一臺信號源的頻率穩(wěn)定度這個辦法仍然不過時。3.2 音頻和模擬鏈路中的相位快捷檢查音頻領(lǐng)域是李薩如圖形另一個非常實用的場景。調(diào)試立體聲系統(tǒng)時左右聲道的信號分別接入X和Y通道如果兩個聲道相位一致屏幕上顯示一條斜率為正的直線如果一路反相就是一條斜率為負的直線如果左右聲道有延遲或濾波差異圖形就會展開成橢圓。這個檢查做起來極快比看兩條波形再對比過零時刻要直觀得多。模擬信號鏈路調(diào)試也一樣。給一個放大器輸入正弦波把輸入信號和輸出信號分別接到X和Y通道通過圖形就能快速判斷放大器引入了多大的相移。調(diào)RC移相網(wǎng)絡(luò)時看著橢圓隨電容旋鈕連續(xù)變化你會對“相位”這兩個字建立起非常具體的直覺。這種直觀性是示波器自動測量參數(shù)給不了的。3.3 鎖相環(huán)與信號源同步狀態(tài)的直觀監(jiān)控在調(diào)試鎖相環(huán)或者需要兩臺信號源同步的場合李薩如圖形可以當(dāng)作一種“相位鎖定指示器”。把參考信號和壓控振蕩器輸出分別接到X和Y通道當(dāng)環(huán)路未鎖定時頻率有偏差圖形會不斷旋轉(zhuǎn)當(dāng)環(huán)路鎖定后兩路信號頻率嚴(yán)格一致圖形停住。如果恰好鎖定在0度相位差圖形是一條直線如果鎖定在90度就是一個橢圓。很多老工程師習(xí)慣用X-Y模式觀察鎖相狀態(tài)原因很簡單圖形停住的那一刻視覺反饋極其明確不像看兩個獨立波形那樣需要同時關(guān)注兩條曲線。我在調(diào)DDS信號源同步時也用過這個方法兩臺信號源都打開10MHz參考同步后圖形從旋轉(zhuǎn)到靜止的變化非常清晰比看頻率讀數(shù)“鎖沒鎖上”更有說服力。3.4 和現(xiàn)代數(shù)字示波器的關(guān)系自動測量之外的理解價值現(xiàn)在的數(shù)字示波器早已具備自動測量頻率、相位差的功能按一下按鈕就能直接讀出數(shù)字李薩如圖形在日常測量中的地位確實下降了。但它的價值并沒有消失。示波器X-Y模式、矢量顯示、射頻領(lǐng)域的I/Q星座圖本質(zhì)上都是同一個數(shù)學(xué)模型的延伸——兩個正交分量合成一個二維軌跡。理解了李薩如圖形再看IQ調(diào)制和解調(diào)就會輕松很多。QPSK星座圖上的四個點其實就是兩路正交載波在不同相位組合下的合成結(jié)果調(diào)制誤差、相位噪聲會讓星座圖上的點散開這和信號源噪聲導(dǎo)致李薩如圖形線條變粗是同一類現(xiàn)象。所以哪怕只是為了后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的調(diào)制技術(shù)也值得花點時間把李薩如圖形徹底搞懂。4. 親手復(fù)現(xiàn)示波器X-Y模式、模擬分頻電路與Python繪圖4.1 示波器X-Y模式的設(shè)置細節(jié)第一步永遠是確認(rèn)示波器的X-Y模式在哪里。模擬示波器通常在水平控制區(qū)有一個“X-Y”按鍵按下去之后CH1自動作為X軸輸入CH2作為Y軸輸入時基掃描電路被旁路掉。數(shù)字示波器一般在“水平”菜單或“顯示”菜單里能找到“X-Y”或“XY”選項不同品牌位置略有差異。進入X-Y模式后需要調(diào)整的有三樣?xùn)|西通道幅度、通道耦合、顯示模式。通道幅度用Volts/Div旋鈕調(diào)節(jié)讓圖形大約占屏幕的三分之一到二分之一太小看不清細節(jié)太大又會裁掉邊緣部分。通道耦合一般用AC檔但如果觀察低頻或直流相關(guān)的相位關(guān)系要考慮AC耦合帶來的低頻衰減。數(shù)字示波器建議打開“無限余輝”或“矢量模式”這樣光跡會更清晰模擬示波器則注意亮度不要調(diào)太高。還有一個容易踩的坑在X-Y模式下示波器的觸發(fā)系統(tǒng)通常不再控制掃描很多數(shù)字示波器會禁用觸發(fā)或者需要切換到“外部觸發(fā)”模式。如果你發(fā)現(xiàn)圖形怎么調(diào)都不穩(wěn)定先別急著懷疑信號源檢查一下觸發(fā)設(shè)置。4.2 怎么讓兩個信號“同頻同源”信號源連接的幾個關(guān)鍵點要用兩臺獨立信號源產(chǎn)生穩(wěn)定的李薩如圖形第一件事是解決共地問題。示波器探頭的地線夾、BNC電纜的外導(dǎo)體在整個測量鏈路中應(yīng)該是同電位的。兩臺信號源如果插在不同插座、存在較大地電位差圖形會變得模糊嚴(yán)重時甚至可能損壞輸入電路。穩(wěn)妥的做法是讓兩臺信號源和示波器使用同一個電源排插并確認(rèn)所有設(shè)備都有可靠接地。第二個問題更難解決兩臺獨立信號源的時基參考互不相關(guān)即使你非常精確地把頻率都設(shè)置成1kHz內(nèi)部晶振的微小差異也會讓相對相位持續(xù)漂移圖形會緩慢旋轉(zhuǎn)。解決思路有三條一是使用同一臺雙通道信號源兩路輸出共用同一個內(nèi)部時鐘頻率比天然穩(wěn)定二是兩臺信號源都支持10MHz參考輸入輸出把一臺設(shè)為主設(shè)備、另一臺設(shè)為從設(shè)備用參考時鐘把它們鎖在一起三是干脆不用獨立信號源用模擬分頻電路自己生成頻率比精確的整數(shù)倍信號。4.3 用分頻電路和RC移相搭一個李薩如演示裝置如果手頭沒有雙通道信號源又想長期觀察穩(wěn)定的李薩如圖形可以自己搭一個簡單的演示電路。核心思路是一個振蕩器產(chǎn)生基頻正弦波一路直接輸出作為X通道信號另一路通過比較器整形為方波再用CMOS分頻器比如CD4017得到1/2、1/3、1/4等整數(shù)分頻方波最后用有源低通濾波器或簡單的RC積分電路把方波還原成正弦波。這樣產(chǎn)生的兩路信號來自同一個時基頻率比嚴(yán)格精確圖形拍出來就是穩(wěn)的。電路結(jié)構(gòu)大致是基頻振蕩器用運放文氏橋振蕩器產(chǎn)生1kHz左右正弦波。過零比較器把1kHz正弦波整形為同頻方波。分頻器CD4017是十進制計數(shù)器從不同輸出腳可以取出1/2、1/3、1/4等分頻方波。正弦化二階低通濾波器截止頻率設(shè)在方波基頻附近取濾波后的近似正弦波。移相器在1kHz正弦通路上串一個RC移相電路可以改變X與Y之間的相位差用來演示同頻橢圓的變化。這個裝置搭建難度不大元器件也便宜適合學(xué)生做實驗或者給初學(xué)者做演示。焊好之后接上示波器調(diào)節(jié)分頻器輸出端屏幕上會依次出現(xiàn)1:1橢圓、1:2的8字、1:3的三葉草圖形非常有成就感。4.4 用Python十分鐘畫出經(jīng)典李薩如圖形沒有示波器的時候用Python同樣能直觀地理解李薩如圖形。下面的代碼用matplotlib畫出一組經(jīng)典參數(shù)組合下的圖形改幾個數(shù)字就能看到不同效果。import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt t np.linspace(0, 4, 4000) # fx: X方向頻率, fy: Y方向頻率, phi: 相位差 fx 1 fy 2 phi np.pi / 2 x np.sin(2 * np.pi * fx * t) y np.sin(2 * np.pi * fy * t phi) plt.figure(figsize(5, 5)) plt.plot(x, y, lw1.2) plt.axis(equal) plt.axis(off) plt.show()想同時看多組參數(shù)可以用子圖循環(huán)fig, axes plt.subplots(2, 3, figsize(9, 6)) params [ (1, 1, 0), (1, 1, np.pi/4), (1, 1, np.pi/2), (1, 2, 0), (1, 3, 0), (2, 3, np.pi/4), ] for ax, (fx, fy, phi) in zip(axes.flat, params): x np.sin(2 * np.pi * fx * t) y np.sin(2 * np.pi * fy * t phi) ax.plot(x, y, lw1.2) ax.set_aspect(equal) ax.set_xticks([]) ax.set_yticks([]) ax.set_title(ffx:fy{fx}:{fy}, phi{phi:.2f}) plt.tight_layout() plt.show()運行這段代碼調(diào)整fx、fy和phi你對頻率比和相位差的直覺很快就能建立起來。如果想模擬“圖形不閉合”的效果只要把fy設(shè)成2.03圖形就會像履帶一樣沿屏幕滾動。5. 折騰中的翻車現(xiàn)場圖形不穩(wěn)定、線條變粗、屏幕灼傷5.1 圖形永遠在“轉(zhuǎn)圈”的根本原因與應(yīng)對這是玩X-Y模式時最常見的現(xiàn)象屏幕上明明看得到橢圓的輪廓但它一直在旋轉(zhuǎn)像躺著的陀螺。根本原因就是兩個信號的頻率比不是嚴(yán)格的有理數(shù)相位差隨時間不斷變化。排查順序是這樣的先確認(rèn)你是不是用了兩臺完全獨立的信號源如果是換同一臺信號源的雙通道輸出或者把兩臺信號源用10MHz參考同步鎖起來然后確認(rèn)信號源設(shè)置的是不是同樣頻率特別是細調(diào)頻率旋鈕有沒有產(chǎn)生零點幾赫茲的偏差最后檢查信號源內(nèi)部是否開啟了頻率掃描或調(diào)制功能有的話關(guān)掉。我遇到過一臺信號源默認(rèn)開啟了低頻掃頻功能結(jié)果怎么調(diào)都穩(wěn)定不下來折騰了半天才發(fā)現(xiàn)是掃描導(dǎo)致頻率在周期性變化。5.2 線條粗、邊緣模糊背后的接地與噪聲問題圖形能穩(wěn)定下來但線條很粗、邊緣發(fā)毛這是X-Y模式里的第二號問題。最常見的原因是接地不良兩路信號存在共模噪聲。很多初學(xué)者喜歡用探頭夾信號線但地線夾懸空或夾的位置亂噪聲直接耦合進來。解決辦法是把示波器探頭換成BNC轉(zhuǎn)接頭加同軸電纜用最短的路徑連接信號源和示波器保證所有設(shè)備共地。如果問題仍然存在打開數(shù)字示波器的20MHz帶寬限制把高頻噪聲濾掉。對模擬示波器來說觸發(fā)不穩(wěn)也會讓圖形看起來發(fā)粗試著把X通道的觸發(fā)源設(shè)置為CH1再仔細調(diào)整觸發(fā)電平。5.3 模擬示波器亮度和余輝的取舍用模擬示波器看李薩如圖形亮度始終是一個矛盾點。圖形太暗看不清細節(jié)太亮又會在熒光屏上留下永久灼傷痕跡尤其是圖形長時間靜止不動的時候高亮度的光跡會像烙印一樣燒在屏幕上。我見過因為測試時離開一會兒、示波器保持高亮X-Y模式回來發(fā)現(xiàn)屏幕中間出現(xiàn)一個永久橢圓暗斑的案例。用模擬機看靜止李薩如圖形亮度調(diào)到“剛好看清”就夠了拍完照或者記錄完參數(shù)盡快切回正常時基模式。數(shù)字示波器可以放心開無限余輝沒有這種顧慮。5.4 示波器輸入過載與安全注意事項X-Y模式下還有一個容易被忽視的安全問題。很多示波器面板上寫著最大輸入電壓但X-Y模式會讓新手誤以為自己在看波形忽略了信號幅度可能已經(jīng)超過輸入額定值。如果測量對象是音頻放大器輸出、變壓器次級等電壓較高的信號一定要先估算峰值電壓。探頭衰減也很關(guān)鍵。用10x探頭示波器能夠承受的電壓范圍會擴大但探頭本身也有額定電壓等級。測量開關(guān)電源、逆變器等不隔離的高壓電路需要用高壓差分探頭普通探頭即使衰減比夠共模電壓也可能擊穿輸入電路。還有一個細節(jié)示波器的接地端和輸入通道的外殼是連通的測浮地電路時不要圖省事直接夾地線這個概念搞錯了很危險。最后分享一個我自己的習(xí)慣?，F(xiàn)在做實驗的時候我仍然喜歡把兩路同頻信號切到X-Y模式看一眼而不是完全依賴示波器的自動相位測量。因為李薩如圖形里包含著太多“不整潔”的信息——旋轉(zhuǎn)方向、線條粗細、邊緣抖動、長軸傾斜角度這些是幾個數(shù)字參數(shù)概括不了的。如果你也想快速上手建議先別急著折騰復(fù)雜電路拿一臺雙通道信號發(fā)生器兩個通道都輸出1kHz正弦波切到X-Y模式然后慢慢調(diào)整其中一路的頻率和相位。你將親眼看到直線、橢圓、圓之間的連續(xù)變化這個過程比任何教材都更能讓你理解簡諧振動合成是怎么回事。