這里這里總結(jié)了我的筆記極限導(dǎo)數(shù)以及多元函數(shù)這幾章還是不錯微分方程這一章繞過去繞過來總覺得不夠清晰一會兒是解法一會兒是方程形式。第七章介紹的都是常微分方程也簡稱微分方程對于這種方程先判斷其階數(shù)、是否線性、是否齊次、是否常系數(shù)然后根據(jù)對應(yīng)的方法求解。第七章第二節(jié)也說了第二節(jié)到第四節(jié)都是說的一階微分方程的解法。我感覺應(yīng)該要用分類法把標(biāo)題清晰明了一點才好其實內(nèi)容感覺還是比較豐富。一、常微分方程形如F(x,y,y′,y′′,...,y(n))0F(x,y,y,y,...,y^{(n)})0F(x,y,y′,y′′,...,y(n))0的方程聯(lián)立后就成為微分方程組常微分方程指的是求解的未知函數(shù)是一元函數(shù)只有一個變量。常微分方程Ordinary Differential Equations常見的微分方程常是常規(guī)的通常的單一變量的意思。根據(jù)方程的階數(shù)分為一階和n階1.1 一階常微分方程一階指的是方程中出現(xiàn)的(未知函數(shù)的最高階導(dǎo)函數(shù))是1階導(dǎo)函數(shù)。再根據(jù)是否是線性分為一階線性和一階非線性一階中的線性指的就是方程對于yyy以及yyy的導(dǎo)數(shù)y′yy′是否是一次方程。1.1.1 一階線性常微分方程可用變量分離法求解形如y′P(x)yQ(x)yP(x)yQ(x)y′P(x)yQ(x)的方程線性指的是這個方程對于未知函數(shù)yyy以及其導(dǎo)數(shù)是一次方程。再根據(jù)齊次與非齊次分為1.1.1.1和1.1.1.21.1.1.1 一階線性齊次常微分方程即Q(x)0Q(x)0Q(x)0這里的齊次意思是在一階線性條件下不含yyy以及yyy的導(dǎo)數(shù)的項等于01.1.1.2 一階線性非齊次常微分方程與齊次相對即Q(x)Q(x)Q(x)不等于0。這里的齊次非齊次可以用F(y,y′)F(y,y)F(y,y′)是齊次函數(shù)的概念解釋常數(shù)變易法可以用于求解一階線性非齊次方程1.1.2 一階非線性常微分方程意指關(guān)于位置函數(shù)yyy及其導(dǎo)數(shù)y′yy′不是一次方程齊次與否用是否可以寫成dydxf(yx)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}f(\frac{y}{x})dxdy?f(xy?)來判定因此繼續(xù)細(xì)分1.1.2.1 一階非線性齊次常微分方程1.1.2.1此類的方程可以使用引入新函數(shù)uyxu\frac{y}{x}uxy?求解的方法求解1.1.2.2 一階非線性非齊次常微分方程不能寫成如上面1.1.2.1 齊次函數(shù)的形式時如果是dydxaxbyca1xb1yc1\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\frac{axbyc}{a_1xb_1yc_1}dxdy?a1?xb1?yc1?axbyc?的形式轉(zhuǎn)化為齊次方程求解或者嘗試分離變量法也可以應(yīng)用于更一般的形式dydxf(axbyca1xb1yc1)\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}f(\frac{axbyc}{a_1xb_1yc_1})dxdy?f(a1?xb1?yc1?axbyc?)1.2 n階常微分方程方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)大于1階通過降階求解幾種可降階的高階微分方程形式如下y(n)f(x)y^{(n)}f(x)y(n)f(x)左右連續(xù)同時積分降階y′′f(x,y′)yf(x,y)y′′f(x,y′)令py′pypy′先求出ppp再求yyyy′′f(y,y′)yf(y,y)y′′f(y,y′)令py′pypy′先求出ppp再求yyy1.2.1 n階線性常微分方程線性與否還是可以使用方程對于yyy以及yyy的導(dǎo)數(shù)是否是一次函數(shù)判定歐拉方程就是一種n階變系數(shù)線性非齊次常微分方程。1.2.1.1 n階線性齊次常微分方程還是可以通過不含yyy以及yyy的導(dǎo)數(shù)的項是否等于0來判定齊次和非齊次二階常系數(shù)線性齊次微分方程可以通過特征方程法直接求解。推廣到n階常系數(shù)線性齊次微分方程1.2.1.2 n階線性非齊次常微分方程已經(jīng)知道如何通過二階常系數(shù)線性齊次微分方程求得通解在非齊次方程中f(x)f(x)f(x)取兩種常見形式時可以通過待定系數(shù)法求特解。1.2.2 n階非線性常微分方程方程對于yyy以及yyy的導(dǎo)數(shù)不是一次函數(shù)伯努利方程dydxP(x)yQ(x)yn\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}P(x)yQ(x)y^ndxdy?P(x)yQ(x)ynn≠0,1n \neq 0,1n0,1等于0或者1的時候就可以按照分離變量法求解了。變量代換化為線性方程求解即兩端同時除以yny^nyn然后令zy1?nzy^{1-n}zy1?n1.2.2.1 n階非線性齊次常微分方程非線性微分方程不存在齊次或者非齊次的統(tǒng)一術(shù)語但在一些領(lǐng)域確實存在一種基于尺度不變性和加權(quán)齊次性的推廣。1.2.2.2 n階非線性非齊次常微分方程不存在判斷標(biāo)準(zhǔn)。